Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: dominodomino w Kwiecień 27, 2010, 08:05:42 pm

Tytuł: rownanie z logarytmem i wartością bezwzględną.
Wiadomość wysłana przez: dominodomino w Kwiecień 27, 2010, 08:05:42 pm
Rozwiąż równanie \log(1+(x^2-2x)^2)+|4-|5-|3-x|||=0
dziękuję
Tytuł: rownanie z logarytmem i wartością bezwzględną.
Wiadomość wysłana przez: lemon w Kwiecień 27, 2010, 08:21:22 pm
Pierwsza sprawa. Należy sprawdzić, czy \exists_{x\in R} \quad 1+(x^2-2x)^2\leq 0. Chociaż jak widać nie istnieje, ale warto takie rzeczy uwzględniać.

Najpierw zajmijmy się wartością bezwzględną:

I. x \leq 3

|4-|5-x-3||=|4-|2-x||

II. x \leq 2

|4-|2-x||=|4-2-x|=|2-x|=2-x

Tak więc dla \forall_{x \leq 2}\quad \log(1+(x^2-2x)^2)+|4-|5-|3-x|||=\log(1+(x^2-2x)^2)+2-x=0

Dalej jakoś nic nei mogę wymyślić  :grin:  Zastanawiałem sie nad zlogarytmowaniem \log(1+x^2(x-2)^2)=x-2 ale wtedy dla danego przedziału i warunku, że x-2>0 rozpatrywalibyśmy równanie na pustym zbiorze...

Nie wiem czy pomogłem, pewnie nie  :razz: Niech sie teraz mądrzejsi wypowiedzą  :wink:
Tytuł: rownanie z logarytmem i wartością bezwzględną.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Kwiecień 27, 2010, 10:32:50 pm
Problem w tym, że tego równania nie da się teoretycznie rozwiązać analitycznie.

Po argumencie logarytmu i wartości bezwzględnej widać, że równanie to ma rozwiązanie jeśli oba człony są równe 0, i tylko wtedy.

Daje to warunki \begin{cases}(x^2-2x)^2=0 \\ |4-|5-|3-x|||=0\end{cases}. Z pierwszego wyliczamy x i wkładamy do drugiego. Jak w drugim wychodzi 0, to x jest ok, jeśli nie, to tez jest ok, ale tenże x nie jest rozwiązaniem :).
Tytuł: rownanie z logarytmem i wartością bezwzględną.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Kwiecień 27, 2010, 10:42:23 pm
Ja mam taki pomysł:

\log(1+(x^2-2x)^2)+|4-|5-|3-x|||=0

Stąd:

|4-|5-|3-x|||=- \log(1+(x^2-2x)^2)

Lewa strona równania jest zawsze nieujemna, więc prawa też musi:

 -\log(1+(x^2 - 2x)^2) \ge 0

\log(1+(x^2 - 2x)^2) \le 0

W podstawie logarytmu mamy 10, więc jest on rosnący. Stąd argument logarytmu musi spełniać nierówności:

0<1+(x^2-2x)^2\le 1

Pierwsza nierówność jest oczywista. Z drugiej po odjęciu 1 mamy:

(x^2-2x)^2\le 0

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność może spełniać tylko zerowa wartość lewej strony:

x^2-2x=0

Stąd jedynymi rozwiązaniami mogą być 0 i 2. Wstawiamy je do równania i dostajemy wynik 2.

[ Dodano: 27 Kwiecień 2010, 22:45 ]
W sumie na to samo wychodzi, ale trochę ogólniej mi to tak wygląda.