Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: lemon w Luty 18, 2009, 02:54:32 pm

Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 18, 2009, 02:54:32 pm
Witam. Mam mały problem z ograniczeniami ciągów:

Sprawdź, czy ciąg a_n jest ograniczony: z góry, dołu, czy z góry i dołu:

a_n=\frac{-20n+1}{n}

Moje rozwiązanie:

a_n=\frac{-20n+1}{n}=\frac{1}{n}-20

Rysując wykres funkcji mamy hiperbole malejącą w dziedzinie o asymptotach x=0 oraz y=-20 (I i III ćwiartka). Jako, że n \in N_+ rozaptrujemy tylko I ćwiartkę

Odpowiedziałem, że ciąg jest ograniczony z dołu i punktem granicznym jest M=-20.

Okazało się, że jest ograniczony z góry i punktem granicznym jest M=-19.

Pytanie, dlaczego?  :roll:
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Luty 18, 2009, 04:48:02 pm
Ciąg jest malejący w całym zbiorze liczb naturalnych. Dla jakiego n przyjmuje największą wartość? Jaka to wartość? Z tego co pamiętam, ciąg jest ograniczony z dołu wtedy, gdy istnieje taka liczba m, że dla każdego naturalnego n jest spełniony warunek a_n \geq m - czy ciąg osiąga wartość równą -20?

[ Dodano: 18 Luty 2009, 16:55 ]
A tak przy okazji - to nie hiperbola ;) Wykres ciągu nie jest ciągły. Nie masz też tutaj argumentów x, tylko n.
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 18, 2009, 08:33:50 pm
Cytat: _Mithrandir
A tak przy okazji - to nie hiperbola  Wykres ciągu nie jest ciągły. Nie masz też tutaj argumentów x, tylko n.


No wiem że nie :P Ta hiperbola to tylko tak pomocniczo, żeby łatwiej pobudzić wyobraźnie :)

Odnośnie tego wzoru to go znam ale nie specjalnei potrafie z neigo skorzystać w praktyce...  :roll:
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Luty 19, 2009, 06:50:09 pm
Bo w sumie to nie jest wzór. Chodzi tylko o to, że wszystkie wartości ciągu muszą być mniejsze lub równe od jakiejś innej, stałej wartości. Mój poprzedni post pomógł Ci czy jeszcze czegoś potrzebujesz?
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 20, 2009, 08:06:27 am
No właśnie nie do końca pomógł. Nie wiem czy jest jakiś konkretny sposób na tego typu zadania, czy trzeba robić za zasadzie "podstawiaj i zgaduj"
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Luty 20, 2009, 08:37:11 am
Skoro ciąg jest malejący, to znaczy, że każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Można to rozumieć też tak, że każdy poprzedni wyraz jest większy od następnego. Z tego wynika, że największy jest wyraz dla n=1. Nie ma wyrazów o większej wartości, więc tu jest ograniczenie. Punkt graniczny: a_1=M, wiadomo teraz, że a_n \leq M, czyli ciąg ograniczony z góry.
Tytuł: Ograniczenie ciągu
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 20, 2009, 02:41:13 pm
Dzięki za pomoc Kamil. Dziś oddała nauczycielka sprawdziany i okazało sie ze mam te  zadanie po czesci dobrze, gdyż ciąg jest ograniczony i z góry i z dołu.

Jak sam napisałeś jest ograniczony z góry gdyż ciąg jest malejący oraz ograniczony z dołu, gdyż n \in N_+. Rysujac hiperbole ograniczenei dolne byłoby asymptotą wykresu funkcji, a z oczywistych przyczyn III ćwiartki nie rozpatrujemy.

Podsumowując:  (-20) < a_n \leq (-19)