Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: robin5hood w Listopad 22, 2010, 08:22:07 pm

Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: robin5hood w Listopad 22, 2010, 08:22:07 pm
Rozstrzygnij , czy liczba 3 ^{32} +5*3 ^{10}+1 jest pierwsza .
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Listopad 22, 2010, 09:09:13 pm
Podpowiedź: zbadaj ostatnią cyfrę tej liczby symulując podnoszenie do potęgi.
W razie problemów pisz.
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Listopad 22, 2010, 09:47:16 pm
Wychodzi 7. Z tego, co widzę, to nie dzieli się to przez żadną "fajną" liczbę, najmniejsza, jaką znalazłem, to 1901. Chyba, że o coś innego Ci chodzi :)
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Listopad 23, 2010, 12:59:25 am
Jak się pisze, że ostatnia cyfra z mnożenia 4*5 to 4 a nie 5, to wychodzi 6 i wszystko jest cacy ;) Przynajmniej wiemy, że jest to liczba nieparzysta.
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: lwgula w Styczeń 29, 2011, 12:37:38 am
Czy 6793 jest liczbą pierwszą? Tak, ale kto wie to od razu?
Niech 3^{32} + 5*3^{10} + 1 = (u - v)^{32} + 2v.
NWD(u,v) = 1 nie jest warunkiem wystarczającym na to, że prawa strona powyższego równania jest liczbą pierwszą.
Mamy u - v = 3 i 2v = 2(u - 3) = 5*3^{10} + 1. Zatem u = 147626 i v = 147623.
Dlatego 3^{32} + 5*3^{10} + 1 = 3^{32} + 2*147623.
Liczbę 3^{32} + 5*3^{10} + 1 możemy zapisać w postaci diofantycznej
(u - v)^{2} + 2v(u - v) = 1 + 2v = (u + v) przy u - v = 1.
Jeżeli tego dokonamy, to liczba u + v musi być pierwsza.
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Styczeń 29, 2011, 09:28:34 am
Cytuj
Niech 3^{32} + 5*3^{10} + 1 = (u - v)^{32} + 2v.


Czy tu czegoś nie brakuje? Chodzi mi o składnik z wykładnikiem 10 po prawej stronie.
Tytuł: Czy tu czegoś nie brakuje?
Wiadomość wysłana przez: lwgula w Styczeń 30, 2011, 11:17:46 pm
Panie doktorze,
Nie brakuje współczynnika u - v.
Dziękuję,
LWG
Tytuł: liczba pierwsza?
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Styczeń 31, 2011, 11:50:07 pm
Mimo szalenie wysokich umiejętności szanownego Pana proszę o zejście na ziemię do nas maluczkich i uchylenie rąbka tajemnicy bogów (naszym językiem mówiąc: objaśnić po polsku tą znaczkologię).