Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: beti83-88-19 w Styczeń 31, 2011, 08:12:51 pm

Tytuł: Gradient i hesjan
Wiadomość wysłana przez: beti83-88-19 w Styczeń 31, 2011, 08:12:51 pm
Mam problem z zadaniem, polega ono na obliczeniu gradientu i hesjanu funkcji:
z=f(x,y)=x²+2y²+3x²y²
Proszę o łatwe rozpisanie, zależy   mi abym to zrozumiała :lol:
Tytuł: Gradient i hesjan
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Styczeń 31, 2011, 08:36:41 pm
Zakładam, że pochodne umiesz liczyć ;)

Oblicz pochodną cząstkową funkcji f po x oraz po y. Ustaw te pochodne w wektor i dostaniesz gradient.

Później liczysz drugie pochodne cząstkowe: dwa razy po x, dwa razy po y oraz po x i y. Nie wiem w jakim punkcie ma być ten hesjan, ale jesli w (x0,y0) to spojrz na macierz i ułóż pochodne tak jak mówi definicja: http://www.naukowy.pl/encyklopedia/Macierz_Hessego

Jeśli będą problemy, to pisz :)
Tytuł: ....
Wiadomość wysłana przez: beti83-88-19 w Luty 01, 2011, 01:48:09 pm
więc tak mam liczyć osobno dla x iy, że
F(x)=2x+6x
f(y)=4y+2y
czy normalnie
F(x,y)= 2x+4y+6x+2y


I dla Hesjanu to będzie
f(xy)= 2+4+6+2   druga pochodna
i nie wiem jak mam to ułozyć??
Tytuł: Gradient i hesjan
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Luty 01, 2011, 04:02:10 pm
Bierzesz pod uwagę całą funkcje, ale pochodną liczysz tylko po jednej zmiennej, na przykład:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x+6xy^2


Analogicznie liczysz pochodną po y. Wówczas x traktujesz jak stałą (w powyższym przykładzie rolę stałej grał y).

Pochodna drugiego rzędu po x, to po prostu pochodna po x pochodnej po x, to znaczy:
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\)