Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: przem_as w Marzec 16, 2011, 04:23:53 pm

Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Marzec 16, 2011, 04:23:53 pm
Dzisiaj spotkałem się z ciekawym zadaniem. Oto ono:

Wielomian W ma postać \fs2 W(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x, gdzie \fs2 a_1,\dots,a_4 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc, że \fs2 W(2)=2, \fs2 W(4)=4, \fs2 W(6)=6, \fs2 W(8)=8, oblicz \fs2 W(10) bez wyznaczania współczynników.
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Marzec 16, 2011, 05:06:14 pm
Ma to jakiś związek z interpolacją wielomianową?
Do tego, co już mamy, dochodzi W(0)=0. Czyli dla x \in \{0,2,4,6,8 \} jest W(x)=x \Leftrightarrow W(x)-x=0. W(x)-x to oczywiście też jest jakiś wielomian piątego stopnia. Można przyjąć, ze to wielomian postaci \prod\limits_{i=1}^5 (x-x_i), gdzie x_i to miejsce zerowe?
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Marzec 16, 2011, 08:04:01 pm
W(x)-x=0 jest prawdą, ale dla tych argumentów, które wymieniłeś. Dla x=10 nie mamy na razie takiej informacji.

Nie rozumiem dlaczego mielibyśmy dać takie założenie, nie widzę argumentu. Poza tym to nie jest prawda ;)

A zadanie ma przygotować do matury  :cool:
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Marzec 16, 2011, 10:52:47 pm
Cytuj
Nie rozumiem dlaczego mielibyśmy dać takie założenie, nie widzę argumentu.


Już argumentuję ;)
1) Byłby to wielomian piątego stopnia (a taki jest też W(x) - x).
2) (x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8) miałby te same miejsca zerowe, co W(x)-x (czyli takie, jakie musi mieć, nie mniej, nie więcej). Pozostaje pytanie, czy nie trzeba by go przemnożyć przez jakąś stałą.

[ Dodano: 16 Marzec 2011, 22:54 ]
Ale chyba nie trzeba nic dodawać, bo przy x^5 współczynnik jest równy 1, tu też tak będzie.
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Marzec 17, 2011, 10:02:39 am
No dobrze, ale nie wiesz czy dla dowolnego x, wielomian W(x)=x. Ale jesteś gdzieś w pobliżu mojego rozwiązania ;)
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Marzec 22, 2011, 10:39:08 pm
No tak, ale to przypomina wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego, a chyba był jakiś dowód, że taki wielomian jest wyznaczony jednoznacznie. W dobrym kierunku myślę czy nie?
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Marzec 22, 2011, 10:43:35 pm
Podpowiedź: zapisz W(x) jako x\cdot Q(x) i popatrz co się dzieje.
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Marzec 22, 2011, 11:39:55 pm
Może za bardzo koncentruję się na tym, co pisałem wcześniej, ale widzę to tak:

W(x)-x = x\cdot (Q(x)-1))

Q(x)-1 możemy zapisać w postaci iloczynowej (x-2)(x-4)(x-6)(x-8) (bo znamy zera tego wielomianu i współczynnik przy najwyższej potędze x).

Dalej już tylko podstawianie i liczenie. O to chodziło?
Tytuł: Ciekawy wielomian
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Marzec 23, 2011, 11:33:14 am
Dobra droga :)