Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: przem_as w Styczeń 17, 2009, 09:43:31 pm

Tytuł: [Topologia] Relacja równoważności
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Styczeń 17, 2009, 09:43:31 pm
Mam problem z takim zadaniem:

Rozpatrzmy relację równoważności \sim\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2 określoną dla (x,y),(x^\prime,y^\prime)\in\mathbb{R}^2 następująco:

(x,y)\sim(x^\prime,y^\prime),\mbox{ o ile }y-y^\prime=2x-2x^\prime


a) Czym na płaszczyźnie \mathbb{R}^2 są klasy abstrakcji [(x,y)]_\sim dla (x,y)\in\mathbb{R}^2?

b) Korzystając z odpowiedniego twierdzenia udowodnić, że przestrzeń ilorazowa \mathbb{R}^2/\sim jest homeomorficzna z przestrzenią \mathbb{R} (względem topologii naturalnej)

Ad. a) Wydaje mi się, że klasami abstrakcji są proste o równaniu y^\prime=2x^\prime+(y-2x) o wyrazie wolnym równym y-2x

Z punktem b) mam już problem. Nie wiem czy można rozważać rzut \pi_{\mathbb{R}}:\; \mathbb{R}^2/_{\sim} \to \mathbb{R}

Być może ktoś będzie miał jakiś pomysł ;)