Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: Ascara w Październik 24, 2011, 05:47:58 pm

Tytuł: [Stereometria] Objętość ostrosłupa
Wiadomość wysłana przez: Ascara w Październik 24, 2011, 05:47:58 pm
Treść zadania: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka wysokości od krawędzi b jest równa d, a kąt nachylenia krawędzi b do płaszczyzny podstawy to α. Oblicz objętość.

Wstyd przyznać, ale całkowicie poległam, nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać, a może inaczej - miałabym, gdyby nie fakt, że wynik, do którego mam dojść, to:

V = \frac{16d^3}{3sin^2cos \alpha}

Jak na razie wychodzi mi wszystko, ale nie to. :) Serdecznie proszę któregoś z naszych matematyków o pomoc.
Tytuł: [Stereometria] Objętość ostrosłupa
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Październik 26, 2011, 09:50:32 pm
Proponuję zrobić jeden rysunek: przekrój zawierający wysokość ostrosłupa i przekątną podstawy (trójkąt równoramienny, ramiona - krawędzie ostrosłupa, podstawa - przekątna podstawy ostrosłuba). Tam można nanieść kąt \alpha i odcinek, wzdłuż którego mierzymy długość d, wysokość.

Wysokość dzieli przekrój na dwa trójkąty prostokątne. Odcinek d, "górna" połowa wysokości i część krawędzi bocznej tworzą kolejny trójkąt prostokątny, podobny do trójkątów - połówek przekroju. Kąt \alpha mamy między d i "górną" połową wysokości, którą możemy oznaczyć \frac{h}{2}. Korzystamy z funkcji trygonometrycznych dla tego trójkąta:

\cos \alpha = \frac{d}{\frac{h}{2}} = \frac{2d}{h}

A stąd h = \frac{2d}{\cos \alpha}. Pozostaje wyznaczyć pole podstawy.

Koniec wysokości trójkąta-przekroju dzieli podstawę przekroju na dwie części, oznaczyć je można przez np. \frac{a}{2}. Tym razem korzystamy z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta - połowy przekroju ostrosłupa:

\mbox{tg} \alpha = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}

Stąd mamy a = \frac{2h}{\mbox{tg} \alpha} = 2 \cdot \frac{2d}{\cos \alpha} \cdot \mbox{ctg} \alpha = \frac{4d}{\sin \alpha}, czyli a = \frac{4d}{\sin \alpha}.

Teraz można narysować podstawę ostrosłupa wraz z przekątną a. Bok tego kwadratu można oznaczyć przez np. c. Wtedy z tw. Pitagorasa mamy:

2c^2=a^2 = \frac{16d^2}{\sin^2 \alpha}

Stąd c^2 = \frac{8d^2}{\sin^2 \alpha} - zauważmy, że jest to już pole podstawy.

Po podstawieniu wyliczonych wielkości do wzoru V = \frac{1}{3} h \cdot P_p otrzymujemy wynik, który napisałaś w pierwszym poście "zjadając" \alpha przy sinusie ;)