Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Zadania => Wątek zaczęty przez: Kris w Grudzień 20, 2008, 09:18:52 pm

Tytuł: [Analiza] Tw. o f. w górnej granicy całkowania
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 20, 2008, 09:18:52 pm
Jest sobie takie twierdzenie, którego dowodu chyba nie rozumiem:
Twierdzenie (o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania)
Niech f będzie funkcją ciągłą na [a,b]. Wtedy F(x)=\int^{x}_{a}f(t)dt jest różniczkowalna i \dot{F}(x)=f(x).

Dowód:
Trzeba udowodnić, że dla każdego x_o\in[a,b] zachodzi \lim_{h\to 0^{+(-)}}=\frac{F(x_o+h)-F(x_o)}{h}=f(x_o). Na razie z + dla h>0.

Z definicji Cauchy'ego funkcji ciągłej:

\forall_{\epsilon>0}\;\exist_{\delta>0}\;\forall_{x,x_o\in D}\;|x-x_o|<\delta\;\Rightarrow\; |f(x)-f(x_o)|<\epsilon


mamy

f(x_o)-\epsilon<f(x)<f(x_o)+\epsilon\qquad\qquad (1)
.

Na razie to zostawiam i korzystam z własności całek w następującym przekształceniu ilorazu różnicowego:

\frac{1}{h}\(\int^{x_o+h}_{a}f(x)dx-\int^{x_o}_{a}f(x)dx\)=\frac{1}{h}\(\int ^{x_o}_{a}f(x)dx+\int^{x_o+h}_{x_o}f(x)dx-\int^{x_o}_{a}f(x)dx\)=\frac{\int^{x_o+h}_{x_o}f(x)dx}{h}


Wiem, też, że

A(b-a)\leq \int^{b}_{a}f(x)dx\leq B(b-a)

czyli

A\leq \frac{\int^{x_o+h}_{x_o}f(x)dx}{h}\leq B\qquad\qquad (2)


Zatem czy można zapisać na podstawie (1) i (2):

f(x_o)-\epsilon\leq \frac{1}{h}\int^{x_o+h}_{x_o}f(x)dx\leq f(x_o)+\epsilon


? Podany był jeszcze warunek h<\delta. Rozumiem, że jest on potrzebny po to, żeby f(x_o)\pm \epsilon były faktycznie najmniejszymi/największymi wartościami na [a,b]?

Dalej już dość prosto:

\|\lim_{h\to 0^+}\frac{F(x_o+h)-F(x_o)}{h}-f(x_o)\|\leq\epsilon


I przy h→0 gdzie δ>h ε→0 zatem

\lim_{h\to 0^+}\frac{F(x_o+h)-F(x_o)}{h}=f(x_o)

co kończy dowód.

Czy te moje wstawki trzymają w jakoś w kupie ten cały dowód? Z tw. Leibniza-Newtona jest już łatwo, więc nie będę pytał ;)
Tytuł: [Analiza] Tw. o f. w górnej granicy całkowania
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Grudzień 20, 2008, 10:41:52 pm
Nie wiem czy nie lepiej skorzystać z definicji Heinego. Będzie o wiele prościej:

Początek taki sam a później można skorzystać w nieco inny sposób z twierdzenia o wartości średniej:
\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t) dt=f(c_h)\qquad\qquad \mbox{ dla pewnego } c_h\in[x_0\;,\;x_0+h]


Jednak wcześniej liczyliśmy liczyliśmy granicę ilorazu przy h\to 0 Stąd c_h=x_0 a, więc z ciągłości  F^\prime(x_0)=f(x_0)
Tytuł: [Analiza] Tw. o f. w górnej granicy całkowania
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 21, 2008, 10:16:27 am
Jasne, że jest prościej, ale niestety nie mam we własnościach całek oznaczonych podanego twierdzenia o wartości średniej. Choć prowadzący mógłby podać dla własnego dobra to twierdzenie. Jak widać byłoby o wiele prościej :) Dzięki przem_as, przy okazji dowiedziałem się, że to twierdzenie naprawdę nazywa się podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego.