Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: Kris w Maj 11, 2010, 06:14:09 pm

Tytuł: [TEORIA ZBIORÓW] Pojęcie zbioru, działania na zbiorach
Wiadomość wysłana przez: Kris w Maj 11, 2010, 06:14:09 pm
Pojęcie zbioru, działania na zbiorach

Teorią zbiorów lub teorią mnogości nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami, działaniami jakie na nich wykonujemy, ich własnościami. Celowo uniknąłem tutaj pojęcia teoria mnogości, gdyż jest to dyscyplina bardzo rozległa i tutaj (a nawet w wielu pozycjach matematycznych) nie może być omówiona w całości; chociażby ze względu na to, że na potrzeby liceum, studiów technicznych, ekonomicznych, pełne jej poznanie i zrozumienie nie jest szczególnie potrzebne. Zatem, termin teoria mnogości nie będzie dalej używany.

Materiał tu zawarty jest przeznaczony głównie dla uczniów liceów, ale niektóre elementy, omawiane zwykle w szkołach policealnych i uczelniach wyższych, są warte omówienia już w szkole średniej. Jeśli takowe się pojawią, zostaną napisane mniejszą czcionką.

Jako, że teoria zbiorów jest silnie powiązana z logiką matematyczną, to proponowałbym przed przystąpieniem do czytania zapoznać się z pojęciami  tegoż działu, dostępnymi również w naszym matematycznym kompendium [Logika] Tautologia rachunku zdań, funkcje zdaniowe (http://www.naukowy.pl/logika-tautologia-rachunku-zdan-funkcje-zdaniowe-vt16103.htm). Bardzo dobre podejście, nie korzystające silnie z logiki matematycznej przedstawione jest np. w książce Heleny Rasiowej zatytułowanej Wstęp do matematyki współczesnej, PWN. Omówiony tam materiał jest jednak przygotowany głównie na potrzeby studiów ściśle matematycznych.

W tym temacie będę używał oznaczenia := do definiowania zależności, natomiast dla negacji użyję symbolu \neg, który jest równoważny \sim.  Przejdźmy do tematu.

§   1. Pojęcie zbioru
[/size]
1.1. Zbiór jako pojęcie pierwotne. Każdy z nas, w jakiś charakterystyczny dla siebie sposób, rozumie czym jest zbiór. Można go utożsamiać z workiem ziemniaków, butlą wypełniona gazem, właściwie ze wszystkim, gdzie mamy wyróżniony kawałek przestrzeni i możemy do niego upakować jakiś elementy: ziemniaki do worka, cząsteczki wodoru do butli.

Można zatem powiedzieć, że zbiór jest pojęciem pierwotnym, czyli kolokwialnie mówiąc, pojęciem, które każdy rozumie, a którego zdefiniowanie za pomocą innych pojęć matematycznych jest praktycznie niemożliwe. Takim pojęciem jest również punkt czy prosta z geometrii euklidesowej.

1.2. Zapis zbiorów. Zbiory oznaczamy dużymi literami, np. A czy X. Jeśli jakiś element x możemy związać z pewnym zbiorem A (np. ziemniak z workiem), to mówimy, że x jest elementem zbioru A i piszemy
x\in A lub A\ni x

lub jeśli jakiś element nie należy do zbioru A
\neg x\in A\;\Leftrightarrow \; x\not\in A.

Jeśli jakiś zbiór A składa się z elementów a, b, c to piszemy A=\{a,b,c\}.
Jak jeszcze zapisujemy zbiory? Niech S(x), będzie formą zdaniową. Zbiór
A=\{x:\;S(x)\}

czytamy: A jest zbiorem elementów, dla których forma zdaniowa S(x) jest prawdziwa. Czasami w literaturze, przy zapisie zbiorów zamiast :, za elementem występuje,  |, czyli A=\{x|\;S(x)\}.

§   2. Działania na zbiorach
[/size][/b]
2.1. Typy działań na zbiorach. Podobnie jak dodajemy, odejmujemy, mnożymy, dzielimy liczby, tak wykonujemy działania na zbiorach.
Niech dane będą dwa zbiory: A i B.

Sumą zbiorów A i B określamy zbiór, którego elementy należą do zboru A lub do zbioru B, co zapisujemy symbolicznie
A\cup B\,:=\{x:\;(x\in A)\vee (x\in B)\}.

Rys. 1 Suma zbiorów na diagramie Venna
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=445)

Watro tutaj wspomnieć o roli jaką pełnią diagramy Venna. Służą one jedynie graficznej ilustracji zbiorów i działań na nich wykonywanych. Zbiory na tych diagramach są tarczami kół. Należy również dodać, że diagramy Venna nie mogą być wykorzystane do dowodzenia własności działań i relacji zachodzącymi między zbiorami.

Własności sumy zbiorów
 A\cup A=A (idempotentność)
 A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C (łączność)
 A\cup B=B\cup A (przemienność)
A\cup \empty =A (własność zbioru pustego)[/list]
[line]Dowody.
Zazwyczaj będziemy się odwoływać do definicji działań na zbiorach i korzystali z praw logiki, a czasami po prostu do zdrowego rozsądku; tak aby nie było zbyt "automatycznie".

1. Idempotentność.
Składniki sumy (zbiory) są takie same, zatem mają te same elementy, a więc żaden zbiór nie wnosi nowych elementów do sumy, więc zbiór będący sumą będzie posiadał te same elementy co \fs2 A, czyli będzie zbiorem \fs2 A.

2. Łączność.
Skorzystajmy z definicji:
\fs2 \begin{eqnarray}A\cup (B\cup C) & = &   \{x:\; x\in A \, \vee\, ( x\in B\,\vee\,x\in C)\} & = & \\  & \stackrel{\bullet}{=} & \{x:\; (x\in A\,\vee\, x\in B)\,\vee\, x\in C\} & = & \\  & = & (A\cup B)\cup C\end{eqnarray}

gdzie w \fs2 \bullet skorzystaliśmy z prawa łączności alternatywy.

3. Przemienność.
Zbiór \fs2 A\cup B posiada w sobie wszystkie elementy z \fs2 A i z \fs2 B. Tak samo jest ze zbiorem \fs2 B\cup A, zatem obie sumy są równe.

4. Własność zbioru pustego.
Suma \fs2 A\cup\empty składa się ze wszystkich elementów zbiór \fs2 A i \fs2 \empty; ale zbiór \fs2 \empty nie posiada żadnych elementów, więc suma tych zbiorów składa się tylko z elementów zbioru \fs2 A, a zatem jest zbiorem \fs2 A.
[/size][line]
Sumę zbiorów daje się rozszerzyć na dowolną liczbę zbiorów. Zdefiniujmy intuicyjnie rodzinę zbiorów.
Rodziną zbiorów nazywamy zbiór, którego elementami są zbiory.

Ogólnie rzecz biorąc, rodzina jest synonimem odwzorowania. Terminu rodzina używa się kiedy bardziej interesuje nas zbiór wartości funkcji niż samo odwzorowanie.
Kiedy każdemu elementowi \fs2 j ze zbioru \fs2 J przyporządkujemy pewien element (w naszym przypadku zbiór) \fs2 A(j) to takie przyporządkowanie nazywamy rodziną elementów \fs2 A(j). Można to zapisać symbolicznie: \fs2\mathfrak{R}:\,\mathbb{N}\supset J\ni j\to A(j). Jak powiedzieliśmy, ważniejsze jest dla nas samo odwzorowanie, co ma swoje odbicie w notacji; zamiast pisać \fs2 J\ni j\to A(j) piszemy krótko: \fs2 (A_j)_{j\in J}. Zgodnie z powyższą definicją, ciąg także jest swojego rodzaju rodziną.

Sumę \fs2 n zbiorów \fs2 A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n należących do pewnej rodziny \fs2 (A_j)_{j\in J} (przyjmijmy, że \fs2 J=\{1,2,3,\ldots, n\})  definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów \fs2 A_j, tj.
\fs2 A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_n\equiv \bigcup_{j= 1}^{n}A_j\.:= \{x:\; \exists_{j\in J}\;x\in A_j\}.
[/size]
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementy należą do zbioru A a nie należą do zbioru B, co zapisujemy symbolicznie
A\setminus B\,:=\{x:\;(x\in A)\,\wedge\,(x\not\in B)\}.

Rys. 2 Różnica zbiorów na diagramie Venna
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=447)

Własności różnicy zbiorów.
Własności różnicy zbiorów nie jest zbyt dużo. Z samej definicji wynika, że A\setminus B\neq B\setminus A. Czytelnik może to łatwo udowodnić samodzielnie.

Iloczynem (częścią wspólną, przekrojem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementy są jednocześnie elementami zbioru A i B, co zapisujemy symbolicznie
A\cap B\,:=\{x:\; (x\in A)\,\wedge\,(x\in B)\}.

Rys. 3 Iloczyn zbiorów na diagramie Venna
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=446)

W teorii zbiorów wprowadza się pojęcie zbioru pustego (który został już "użyty" we własnościach sumy zbiorów), czyli zbioru, który nie posiada żadnych elementów. Potrzeba wprowadzenia tego określenia jest oczywista: wyniki działań na zbiorach muszą być zbiorami. Zbiór pusty można zdefiniować następująco: \emptyset \,:=\{a:\;a\neq a\}, czyli za pomocą warunku, który nigdy nie może być spełniony. Na przykład, kiedy zbiory nie mają żadnych wspólnych elementów, to piszemy wówczas A\cap B=\emptyset i mówimy, że zbiory A i Brozłączne.

Własności iloczynu zbiorów
 A\cap A=A (idempotentność)
 A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C (łączność)
 A\cap B=B\cap A (przemienność)
A\cap \empty =\empty (własność zbioru pustego)[/list]
[line]Dowody.
1. Idempotentność.
Elementy iloczynu (zbiory) posiadają te same elementy co \fs2 A, a zatem będzie to zbiór \fs2 A.

2. Łączność.
Skorzystajmy z definicji:
\fs2 \begin{eqnarray}A\cap (B\cap C) & = &   \{x:\; x\in A \, \wedge\, ( x\in B\,\wedge\,x\in C)\} & = & \\  & \stackrel{\bullet}{=} & \{x:\; (x\in A\,\wedge\, x\in B)\,\wedge\, x\in C\} & = & \\  & = & (A\cap B)\cap C\end{eqnarray},

gdzie w \fs2 \bullet skorzystaliśmy z prawa łączności koniunkcji.

3. Przemienność.
Zbiór \fs2 A\cap B składa się z tych elementów, które należą zarówno do \fs2 A i do \fs2 B. Tak samo jest ze zbiorem \fs2 B\cap A, zatem oba zbiory są równe.

4. Własność zbioru pustego.
Zbiór \fs2 A\cap \empty składa się z elementów, które należą zarówno do \fs2 A i do \fs2 \empty; ale zbiór \fs2 \empty nie posiada żadnych elementów, więc iloczyn tych zbiorów będzie także zbiorem pustym.[/size][line]
Iloczyn \fs2 n zbiorów \fs2 A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n   definiujemy jako zbiór elementów, które należą do każdego ze zbiorów A_j, tj.
A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_n\equiv \bigcap_{j=1}^{n}A_j\.:= \{x:\; \forall_{j\in J}x\in A_j\}.
[/size]

Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementy należą do A i nie należą do B lub zbiór, którego elementy należą do B i nie należą do A, co można zapisać za pomocą wyżej wprowadzonych oznaczeń
A\div B\equiv A\oplus B\equiv A\bigtriangleup B\,:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A).

Rys. 4 Różnica symetryczna zbiorów na diagramie Venna
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=448)

Można to również zapisać z użyciem symboli logicznych:
A\bigtriangleup B\,:=\{x:\;(x\in A\wedge x\not\in B)\,\vee\,(x\in B\wedge x\not\in A)\}.

Wykorzystując dopełnienie zbioru (patrz dalej) można zapisać, że
A\bigtriangleup B=(A\cap B)^c.

Jeśli za przestrzeń (patrz dalej) przyjmiemy zbiór A\cup B.

Podamy teraz aksjomatyczną definicję pary uporządkowanej (istnieje jeszcze teoriomnogościowa definicja pary uporządkowanej, np. definicja Kuratowskiego)

Parą uporządkowaną nazwiemy zestawienie dwóch liczb (x,y) o własności:
(x,y)=(w,z)\;\Leftrightarrow\; x=w\, \wedge\, y=z,

gdzie x\in A i y\in B.
W szczególności pary (x,y) i (y,x) są różne jeśli x\neq y. Możemy teraz zdefiniować iloczyn kartezjański zbiorów.

Iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów A i B nazywamy zbiór takich par uporządkowanych (x,y), dla których
A\times B\,:=\{(x,y):\;x\in A\, \wedge\, y\in B\}.

Można uogólnić iloczyn kartezjański dla dowolnej liczby zbiorów i oznacza się to jako \fs2 A_1\times A_2\times \cdots\times A_n. Jeśli mamy do czynienia z tymi samymi zbiorami, to piszemy \fs2 \underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{n}=A^n.

Zdefiniujmy teraz relację inkluzji, czyli zawierania się zbioru w zbiorze.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B, jeśli wszystkie elementy zbioru A są jednocześnie elementami zbioru B, co można zapisać symbolicznie
A\sub B\;\Leftrightarrow\; [(x\in A)\;\Rightarrow\; (x\in B)].

Rys. A podzbiorem B na diagramie Venna
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=449)

Mówi się wtedy, że A jest podzbiorem B lub, żeB jest nadzbiorem A. Poprzez relację zawierania się można wprowadzić relację równości zbiorów A i B, tj.
(A\sub B)\,\wedge \,(B\sub A) \;\Leftrightarrow\; A=B,

czyli wówczas, gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B i każdy element B jest elementem A.

Jeśli pojawia się możliwość, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B lub jest jemu równy, to piszemy A\subseteq B, czyli

A\subseteq B\;\Leftrightarrow\; (A\sub B\;\vee\; A=B).

Kilkakrotnie pojawiło się pojęcie relacji. O ile nie mogliśmy jej zdefiniować dla zawieranie się zbiorów (w jej definicji występuje właśnie relacja zawierania się, zatem jest ona pojęciem pierwotnym dla relacji), to teraz możemy podać jej ścisłą definicję.

Relacją nazywamy dowolny podzbiór par elementów \fs2 x i \fs2 y, czyli relacja \fs2 \varrho jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego \fs2 X\times Y, symbolicznie
\fs2 \varrho \sub X\times Y.

Na przykład. Relacja równości w zbiorze liczb rzeczywistych, relacja \fs2\geq w zbiorze liczb rzeczywistych, relacja podzielności w zbiorze liczb naturalnych (bo dowolna liczba naturalna jest swoim podzielnikiem).

Jeśli para elementów \fs2 (x_i,y_i) jest w relacji \fs2 \varrho, to piszemy \fs2 (x_i,y_i)\in\varrho (relacja jest zbiorem par) lub \fs2 x_i\,\varrho\,y_i.

Określa się także dziedzinę i zbiór wartości relacji.
Dziedziną relacji \fs2 \varrho nazywamy zbiór
\fs2 D_{\varrho}=\{x\in X:\; \exists_{y\in Y}\; (x,y)\in \varrho\}.

Zbiorem wartości relacji  \fs2 \varrho nazywamy zbiór
\fs2 V_{\varrho}=\{y\in Y:\; \exists_{x\in X}\; (x,y)\in \varrho\}.

Wymieńmy kilka cech jakie może posiadać relacja.
Relacja \fs2 \varrho\subset X\times X jest:
1. Zwrotna, gdy \fs2 \forall_x \;(x,x)\in \varrho;
2. Symetryczna, gdy \fs2 \forall_{x,y}\; (x,y)\in\varrho\;\Rightarrow\;(y,x)\in \varrho;
3. Antysymetryczna, gdy \fs2 \forall_{x,y}\; (x,y)\in\varrho\;\Rightarrow\;(y,x)\not\in \varrho
4. Przechodnia, gdy \fs2 \forall_{x,y,z}\; [(x,y)\in\varrho\;\wedge\;(y,z)\in \varrho]\;\Rightarrow\; (x,z)\in \varrho;
5. Identytywna, gdy \fs2 \forall_{x,y}\; [(x,y)\in\varrho\;\wedge\;(y,x)\in \varrho]\;\Rightarrow\; [x=y]
6. Prawostronnie jednoznaczna, gdy \fs2 \forall_{x,y,z}\; [(x,y)\in\varrho\;\wedge\;(y,z)\in \varrho]\;\Rightarrow\; [y=z];
7. Lewostronnie jednoznaczna, gdy \fs2 \forall_{x,y,z}\; [(x,y)\in\varrho\;\wedge\;(z,y)\in \varrho]\;\Rightarrow\; [x=z];
  8. Wzajemnie jednoznaczna, gdy jest obustronnie jednoznaczna.
[/size]

Z relacją zawierania wiąże się kolejne pojęcie - dopełnienie zbioru. Ustalmy pewien ustalony nadzbiór zbioru A i oznaczmy go U i nazywajmy przestrzenią lub uniwersum (łac. wszechświat). Zbiór
U\setminus A\,:=\{x\in U:\; x\not\in A\}
nazywamy dopełnieniem zbioru A i oznaczamy A^\prim lub A^c.
Zauważmy, że została wprowadzona dokładniejsza notacja - zamiast samego elementu x został wprowadzony zbiór, z którego bierzemy nasze elementy. Dalej tak właśnie będziemy zapisywali zbiory, tzn. podając uniwersum i formę zdaniową jaką musi spełniać nasz element, aby należał do zbioru. Można się łatwo przekonać, że (A^c)^c=A.

Wybrane prawa działań na zbiorach
\begin{cases}A\cup(A\cap B)=A \\  A\cap (A\cup B)=A\end{cases} (dołączalność, adjunkcja)
\begin{cases}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\  A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\end{cases} (rozłączność, dystrybutywność)
\begin{cases}(A\cup B)^c=(A^c\cap B^c) \\ (A\cap B)^c=(A^c\cup B^c)\end{cases} (prawa de Morgana)[/list]
§   3. Zbiory liczbowe
[/size]
Podamy teraz trywialną definicję zbioru liczbowego.
Zbiorem liczbowym nazywamy zbiór, którego elementami są liczby.

3.1. Zbiór liczb naturalnych. Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór złożony z liczb 1,2,3,4,...., co zapisujemy symbolicznie \mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}. Zbiór liczb naturalnych z dołączonym elementem 0 oznaczamy jako \mathbb{N}\cup \{0\}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}.

3.2. Zbiór liczb całkowitych. Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór złożony z liczb ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... co można symbolicznie zapisać \mathbb{Z}=\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}, czyli liczb naturalnych, liczb przeciwnych do naturalnych i elementem 0.

3.3. Zbiór liczb wymiernych. Zbiorem liczb wymiernych nazywamy zbiór liczb, które dają się zapisać w postaci ułamkowej. Oznaczamy go przez \mathbb{Q}=\{w:\; w=\frac{k}{n},\text{ gdzie }k\in\mathbb{Z},\;n\in\mathbb{N}}.

3.4. Zbiór liczb niewymiernych. Zbiorem liczb niewymiernych nazywamy zbiór złożony z liczb, które nie są wymierne. Oznaczamy go jako  \mathbb{IQ}. Liczbami niewymiernymi są np. \sqrt{3},\;\log_23,\;\tan 1^{\circ}.

3.5. Zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{IQ}, a zatem sumę zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych.

3.6. Zbiór liczb zespolonych. Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór par uporządkowanych liczb rzeczywistych, tj. \mathbb{C}=\{(x,y):\, x\in\mathbb{R}\,\wedge\, y\in\mathbb{R}\}.

Liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste możemy utożsamiać z punktami na osi liczbowej, a liczby zespolone z punktami płaszczyzny \mathbb{R}^2.

Dla tak określonych zbiorów liczbowych można podać odpowiednie relacje inkluzji (zawierania się) zbiorów:
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} oraz \mathbb{IQ}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}


§   4. Przykłady i zadania
[/size]
Podpunkt ten jest jednym z najważniejszych w całym artykule. Dotyczy bowiem zastosowań zbiorów w matematyce a także w naukach przyrodniczych i technicznych. Zanim jednak przejdę do prezentacji przykładów, podam resztę ważnych, nie opisanych wcześniej definicji.

Zajmować się będziemy głównie zbiorami na prostej (przedziałami) a także zbiorami na płaszczyźnie, które powstaną z rozważań pewnych nierówności. Przejdźmy teraz do przedziałów na prostej i podajmy ich definicję.

Przedziałem obustronnie otwartym, oznaczanym jako jako (a,b) lub ]a,b[, nazywamy zbiór
(a,b)\,\Leftrightarrow\,\{x\in\mathbb{R}:\,a< x< b\}.

Przedziałem obustronnie domkniętym, oznaczanym jako jako [a,b] lub \langle a,b\rangle, nazywamy zbiór
[a,b]\,\Leftrightarrow\,\{x\in\mathbb{R}:\,a\leq x\leq b\}.

Przedziałem lewostronnie domkniętym (prawostronnie otwartym), oznaczanym jako jako [a,b) lub [a,b[, nazywamy zbiór
[a,b)\,\Leftrightarrow\,\{x\in\mathbb{R}:\,a\leq x< b\}.

Przedziałem prawostronnie domkniętym (lewostronnie otwartym), oznaczanym jako jako (a,b] lub ]a,b], nazywamy zbiór
(a,b]\,\Leftrightarrow\,\{x\in\mathbb{R}:\,a< x\leq b\}.

Widzimy zatem, że przedział jest jednostronnie lub obustronnie domknięty, jeśli x może przyjmować wartość przynajmniej jednej z liczb ograniczających przedział.

Analogicznie można definiować zbiory, w których granice ich są nieoznaczone, tj. są nimi \pm\infty. W szczególności, mamy że (-\infty,+\infty)=\mathbb{R}.

4.1 Zastosowania zbiorów w matematyce.
W podpunkcie tym poza garścią zadań i suchych poleceń będę starał się podać krótkie uzasadnienie sensu robienia określonych typów zadań. Zaczynajmy.

Przykład 1 - przedziały na osi liczbowej
Jednym z podstawowych zadań jest zaznaczanie na osi liczbowej określonych przedziałów. Warto nauczyć się robić to w sprawny sposób, gdyż ilustracja geometryczna jest najczęściej impulsem prowadzącym do istoty pewnych zagadnień, takich jak rozwiązywanie nierówności i podawanie ich zbiorów rozwiązań, a także bardziej złożonych zagadnień jak definicja całki oznaczonej Riemanna.

Zaznaczyć na osi liczbowej zbiory \fs 2 A=[-3,0]\cup(5,7) oraz \fs2 B=[-4,2]\cup(3,6) i na podstawie rysunku podać sumę, iloczyn, różnice \fs2 A\setminus B oraz \fs2 B\setminus A, a także dopełnienie dla każdego ze zbiorów z osobna.


Rozwiązanie:
Jeśli mamy za zadanie zaznaczyć kilka zbiorów na jednej osi liczbowej, to wygodnie jest to robić tak jak na poniższym schemacie
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=502)

Zbiór A jest w rzeczywistości sumą dwóch zbiorów, które nie mają elementów wspólnych. Elementy jednego zbioru lepiej jest zaznaczać na jednej wysokości (na schemacie A jest na niższym poziomie niż B). Wówczas od razu można odczytać, które elementy do którego zbioru należą. Na rysunku granice, które należą do przedziałów zaznaczyłem czerwonym kwadratem, a te które nie należą czerwonym krzyżykiem. Od razu można więc zapisać
\fs2 A\cup B=[-4,0]\cup(3,7) \\ A\cap B=[-3,2]\cup(5,6) \\ A\setminus B=(-2,0]\cup (6,7) \\ B\setminus A=[-4,3)\cup(3,5) \\ A^c=(-\infty,-3)\cup (0,5]\cup [7,+\infty) \\ B^c=(-\infty,-4)\cup(2,3]\cup[6,+\infty)
Zauważmy, że na podstawie praw przemienności, nie musiałem osobno określać \fs2 B\cup A i \fs2 B\cap A.
Przykład 2 - przedziały na osi liczbowej, ciąg dalszy
Potrafimy już zaznaczać zbiory na osi liczbowej; wykorzystajmy ten fakt do rozwiązywania nierówności.

Rozwiąż nierówność \fs2 x^2+2x-3>0, a zbiór x-ów ją spełniających zaznacz na osi liczbowej.


Rozwiązanie:
Przekształćmy naszą nierówność: \fs2 x^2+2x-5=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)>0. Sposobów rozwiązywania nierówności jest kilka. W naszym przykładzie możemy rozpatrywać kiedy iloczyn dwóch wyrażeń w nawiasach jest większy od 0 lub pójść inną drogą. Umiemy wszakże narysować wykres funkcji kwadratowej, a lewą stronę nierówności możemy traktować jako taka funkcję, podaną w postaci iloczynowej. Dla nas nie jest ważne, czy parabola będzie stroma czy nie, w jakim punkcie ma wierzchołek. Interesują nas dwa fakty: gdzie funkcja się zeruje i czy ma ramiona zwrócone w górę czy w dół. Bez trudu znajdujemy miejsca zerowe: \fs2 x_1=-3 oraz \fs2 x_2=1 i rysujemy wykres.
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=503)

Naszym ostatnim zadaniem będzie zaznaczanie, zgodnie z nierównością, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Na podstawie rysunku odczytujemy, ze zbiorem rozwiązań jest \fs2 (-\infty,-3)\cup (1,+\infty) , bądź w innym stosowanym zapisie - \fs2 \mathbb{R}\setminus [-3,1].  
Przykład 3 - logika a teoria zbiorów
Jak wspomniałem na początku, logika jest silnie powiązana z teorią zbiorów. Jak widzieliśmy, ma to miejsce głównie przy definicjach zbiorów i działań nań wykonywanych. Odwołując się do praw logiki można dowieść każde prawo rachunku zbiorów. Oto przykład.

Odwołując się do odpowiednich definicji i praw rachunku zbiorów udowodnij prawo de Morgana dla zbiorów \fs2 (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.


Rozwiązanie:
Nasza równość zbiorów może być zapisana za pomocą równoważności \fs2 x\in(A\cup B)^c\;\Leftrightarrow\; x\in(A^c\cap B^c). Przekształcajmy lewą stronę naszego zdania, tak aby uzyskać prawą stronę równoważności.
\fs2\begin{eqnarray}x\in (A\cup B)^c & \stackrel{1}{=} & \neg [x\in(A\cup B)] & = & \\ & \stackrel{2}{=} & \neg [(x\in A)\,\vee\,(x\in B)] & = & \\ & \stackrel{3}{=} & (\neg x\in A)\,\wedge\, (\neg x\in B) & = & \\ & \stackrel{4}{=} & (x\in A^c)\,\wedge\,(x\in B^c) & = & \\ & \stackrel{5}{=} & x\in(A^c\cap B^c)\end{eqnarray}

gdzie w 1. skorzystałem z definicji dopełnienia (nie znamy uniwersum, więc wystarczy nam wiedzieć, że x nie jest elementem A czy B), w 2. z definicji iloczynu zbiorów, 3. z odpowiedniego prawa de Morgana z logiki, 4. powtórnie z definicji dopełnienia, a w 5. z definicji sumy zbiorów.

Tym samym sposobem, znając odpowiednie prawa logiki, można udowodnić wiele innych praw rachunku zbiorów. Jako ćwiczenie, można spróbować udowodnić któreś z praw rozłączności.
Przykład 4 - dziedziny wyrażeń rzeczywistych
Przy rozwiązywaniu równości, nierówności logarytmicznych, trygonometrycznych, wymiernych itp. zmuszeni jesteśmy do rozpatrywania jedynie liczb, dla których dane wyrażenie ma sens. Mówimy wówczas o dziedzinie wyrażenia, która jest zbiorem. I tak, wyrażenie z mianowniku nigdy nie może być zerem, wyrażenie będące argumentem logarytmu zawsze powinno być dodatnie itp. Jak pokażę na fizycznym przykładzie, znajomość zbiorów wartości jakie może przyjmować dana wielkość fizyczna może prowadzić do uniknięcia niepotrzebnych przekształceń. Do dzieła.

Określić dziedzinę wyrażenia \fs2 \log_3(x^2+4x)+\frac{2x}{(x^2-4)\sqrt{x+5}}.


Rozwiązanie:
Zacznijmy teraz od małej dygresji logicznej. Jeśli mamy kilka wyrażeń (zdań), które muszą być jednocześnie spełnione, a zatem musi między nimi zachodzić koniunkcja. Zamiast wielokrotnego łączenia zdań funktorem \fs2 \wedge, wszystkie je można ująć w klamrę, jak czynimy to świadomie bądź nieświadomie zapisując układ równań. Tym samym, warunki jakie musi spełniać nasze wyrażenie, można ująć następująco:
\fs2 \begin{cases}x^2+4x>0 \\ x^2-4\neq 0 \\ x+5>0\end{cases}\;\;\Leftrightarrow\; \begin{cases}x(x+4)>0 \\ (x+2)(x-2)\neq 0 \\ x>-5\end{cases}\;\; \Leftrightarrow\; \begin{cases}x\in (-\infty,-4)\cup (0,+\infty) \\ x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} \\ x\in (-5,+\infty)\end{cases}

co notujemy na osi liczbowej
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=504)

Czytamy z niej, że \fs2 x\in(-5,-4)\cup(0,2)\cup(2,+\infty). Przy tego rodzaju schematach istnieje szansa, że możemy się łatwo pomylić. W przypadku części wspólnej zbiorów, wystarczy poprowadzić prostą prostopadłą do osi liczbowej i jeśli ta przecina na pewnym przedziale wszystkie nasze niebieskie kreski, to przedział ten jest iloczynem tych przedziałów. Sprawdź!.

4.2 Zastosowania zbiorów w fizyce.
Przykład 5 - wspomniany wcześniej przykład fizyczny
Odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca wynosi ok. \fs2 d= 60R (\fs2 R - promień Ziemi), natomiast masa Ziemi wynosi w przybliżeniu 81 ma Księżyca tj, \fs2 M_Z=81M_K. Posługując się twierdzeniem, które mówi, że natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od masywnej kuli jest równe natężeniu pola grawitacyjnego pochodzącego od punktu będącego środkiem kuli obdarzonego jej masą, oblicz w jakiej odległości od Ziemi na linii Ziemia-Księżyc pole grawitacyjne jest zerowe.

Rozwiązanie:
Skorzystajmy z prawa powszechnego ciążenia Newtona, które mówi, że dwie masy przeciągają się z siłą o wartości \fs2 F_G=G\frac{m_1m_2}{r^2}, gdzie G jest stałą grawitacji, a r odległością między ciałami. Umieśćmy masę m próbną na linii Ziemia-Księżyc. W punkcie, w którym wypadkowa siła działająca na tę masę jest równa 0 pole grawitacyjne jest zerowe. Jako, że - z obecnym stanem wiedzy - siła grawitacyjna jest tylko i wyłącznie przyciągająca, można zapisać, że odległość x od Ziemi, w której pole grawitacyjne zanika spełnia równanie:
\frac{GmM_Z}{x^2}=\frac{GmM_K}{(d-x)^2}\;\Leftrightarrow\; \frac{M_z}{x^2}=\frac{M_K}{(d-x)^2}.

I tutaj możemy wykorzystać informacje o wartościach jakie mogą przyjmować nasze wielkości fizyczne w zadaniu. Każda masa jest dodatnia (mas zerowych nie ma sensu rozpatrywać): \fs2 m, M_K,M_Z\in(0,\infty) \mbox{ [kg]}; nie inaczej jest w naszymi odległościami: \fs2 x,d-x\in [0,\infty), gdzie tym razem dopuściłem wartość 0 dla odległości , zatem zamiast rozwiązywać równanie kwadratowe i odrzucać jedno z rozwiązań, możemy spierwiastkować równanie i liczyć proste proporcje, gdyż w równaniu mamy same wielkości nieujemne. Wówczas uzyskamy
\fs2 d\sqrt{M_Z}=x(\sqrt{M_Z}+\sqrt{M_K}) \;\Leftrightarrow\; x=\frac{d}{1+\sqrt{\frac{M_K}{M_Z}}}.

Z postaci mianownika wnioskujemy, że odległość x jest z pewnością mniejsza od d, co nie powinno dziwić. Podstawienie danych pozostawiam zainteresowanym.

§   5. Bibliografia i literatura uzupełniająca.
[/size]
1. Rasiowa H., Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa 1973.
Jedna z najlepszych na polskim rynku pozycji obejmująca tradycyjny wykład wstępu do matematyki. Jak można się domyślać, przeznaczona głównie na potrzeby studiów matematycznych. Niemniej, nie-matematyk także znajdzie wiele przydatnych dla siebie rzeczy.
2. Maurin K., Analiza cz. 1, Elementy, Warszawa 1991.
Pierwsza, z trzytomowego wydania Analizy Krzysztofa Maurina, książka przeznaczona do kursu analizy matematycznej. We wstępnej części można przeczytać bardzo ciekawie opisany aspekt matematyczno-filozoficzny i matematyczno-lingwistyczny. Ponadto w pierwszych rozdziałach autor zwięźle przypomina podstawy matematyki. Jak by nie patrzeć, książka jest trudna, a jako całość obejmuje 3-letni kurs analizy matematycznej. Warto wypożyczyć choćby dla samego wstępu.
3. Bronsztejn I. N., Siemiendiajew K. A., Musiol G., Mühlig H., Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa 2007.
Najpełniejsze podsumowanie matematyki w polskiej literaturze. Faktem jest, że nieco można się z tej księgi nauczyć, ale w głównej mierze jest ona przeznaczona dla osób, które miały styczność z danym zagadnieniem. Niemniej, warto mieć tę pozycję w domu, choć cena do tego nie zachęca.
4. http://www-users.mat.umk.pl/~przem/index/grafika/wstep.pdf

Kolorem niebieskim została zaznaczona literatura akademicka.