Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: Kris w Sierpień 21, 2008, 05:49:44 pm

Tytuł: [GEOMETRIA] Wektory w zadaniach
Wiadomość wysłana przez: Kris w Sierpień 21, 2008, 05:49:44 pm
Wektory w zadaniach

Ten artyku? dotyczy nie tylko zada? rachunkowych z u?yciem wektorów, ale i dowodów pewnych twierdze? z geometrii, które bez wykorzystania poj?cia wektora wymaga?yby nie tyle skomplikowanych, co d?ugich metod algebraicznych.

Przyk?ad 1
Dane s? wektory \fs2 \vec a=[1,-1], \fs2 \vec b=[2,1], \fs2 \vec c=[-5,-7]. Wyznacz takie liczby rzeczywiste \fs2 k i \fs2 l, by \fs2 \vec c=k\vec a+l\vec b.

Rozwi?zanie:
Nasze zadanie sprowadza si? do tego, ?eby przedstawi? wektor \fs2 \vec c jako kombinacj? liniow? wektorów \fs2 \vec a i \fs2 \vec b. Skorzystajmy z definicji mno?enia wektora przez skalar: \fs2 k[1,-1]+l[2,1]=[k,-k]+[2l,l]=[k+2l,l-k]=[-5,-7]. Tym wzorem wyra?a si? suma \fs2 k\vec a+l\vec b. Pozostaje nam zbudowa? odpowiedni uk?ad równa?:
\begin{cases}k+2l=-5 \\ l-k=-7\end{cases}

Uk?ad ten rozwi?zuje si? bardzo ?atwo. Spróbujmy metody przeciwnych wspó?czynników: \fs2 2l=-12\;\Rightarrow\; l=-4 . Tym samym \fs2 k=3, zatem mo?emy sformu?owa? odpowied?: \fs2\vec c=k\vec a+l\vec b \;\Leftrightarrow\; \fbox{(l=-4\;\wedge\; k=3)}
[line]Przyk?ad 2 - odcinek ??cz?cy ?rodki ramion trapezu
Dany jest trapez równoramienny o d?ugo?ci podstaw \fs2 a i \fs2 b. Wykaza?, ?e odcinek ??cz?cy ?rodki ramion trapezu ma d?ugo?? \fs2 \frac12\(a+b\).

Rozwi?zanie:
Rozpatrzmy nast?puj?cy trapez
(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=233)

Wektory oznaczy?em ju? na rysunku. Rozpatrzmy kolejno trapezy \fs2 ABFE oraz \fs2 EFCD. Dla pierwszego zapisuj? zgodnie z metod? dodawania wektorów:
\fs2 \vec{AB}+\vec{BF}-\vec{EF}+\vec{EA}=0 i dla drugiego \fs2 \vec{EF}+\vec{FC}-\vec{CD}+\vec{DE}=0.
Porównuj?c stronami i korzystaj?c z definicji wektora swobodnego \fs2\vec{BF}=\vec{FC}=\vec g oraz \fs2\vec{DE}=\vec{EA}=\vec h. Dla u?atwienia przyjm?, ?e \fs2\vec{AB}=\vec a , \fs2\vec{EF}=\vec s oraz \fs2\vec{CD}=\vec b. Zatem:
\vec a+\vec g-\vec s+\vec h=\vec s+\vec g-\vec b+\vec h

Czyli zostaje \fs2 \vec s=\frac12\(\vec a+\vec b\). Nasze wektory s? równoleg?e, zatem mo?na zapisa? \fs2 s=\frac{a+b}{2} c.n.d.

Okazuje si?, ?e wynik ten obowi?zuje nie tylko dla trapezu równoramiennego, ale tak?e dla dowolnego trapezu. Dowód dla dowolnego trapezu zosta? w?a?ciwie przeprowadzony wy?ej, gdy? ka?dy odcinek ??cz?cy ?rodki ramion dowolnego trapezu jest równoleg?y do podstaw trapezu.[line]Przyk?ad 3 - twierdzenie cosinusów
Udowodnij twierdzenie cosinusów. Mówi ono, ?e w dowolnym trójk?cie o bokach d?ugo?ci \fs2 a,\;b\;c zachodzi równo?? \fs2c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, gdzie \fs2 \gamma jest k?tem zawartym pomi?dzy bokami \fs2 a i [/tex]\fs2 b[/tex].

Rozwi?zanie:
Utwórzmy trójk?t ABC. Niech \fs2 \vec{AB}=\vec a . \vec{AC}=\vec b i \fs2 \vec{CB}=\vec c. Czytelnik niewprawiony w "rysowanie w g?owie" powinien ca?? sytuacj? narysowa?.
Dla tak zdefiniowanych wektorów zachodzi równo??: \fs2 \vec c=\vec a - \vec b. Podnie?my nasze równanie do kwadratu: \fs2 \vec c\cdot\vec c=(\vec a-\vec b)\cdot (\vec a-\vec b). Z definicji iloczynu skalarnego, dla dowolnego wektora, mamy: \fs2 \vec v\cdot\vec v=v^2, zatem \fs2 c^2= a^2+b^2-2\vec a\cdot\vec b. Znów korzystamy z definicji i.s. i otrzymujemy \fs2\fbox{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma } c.n.d.
[line]Przyk?ad 4 - równoleg?obok
Wyka?, ?e je?li przek?tne w czworok?cie dziel? si? na po?owy, to wielok?t ten jest równoleg?obokiem.

Rozwi?zanie:
Rozpatrzmy czworok?t jak na rysunku
(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=354)

Na podstawie schematu zale?no?ci:
\begin{cases}\fs2 \vec{DC}+\vec{CE}-\vec{DE}=\vec 0 \\ \fs2 \vec{BA}-\vec{EA}+\vec{EB}=\vec 0\end{cases}
Z warunków zadania mamy, ?e (przek?tne dziel? si? na po?owy) \fs2 \vec {CE}=\vec{EA},\;\;\vec{DE}=\vec{EB} . Dodaj?c pierwsze dwa równania stronami otrzymujemy

\vec{DC}+\vec {BA}+\(\vec{CE}-\vec{EA}\)+\(\vec{EB}-\vec{DE}\)=\vec 0

Ró?nice w nawiasach s? równe zeru, zatem \fs2 \vec {DC}=-\vec{BA}, czyli wektory s? antyrównoleg?e i mo?emy zapisa? \fs2\fbox{\bar{AB}\parallel\bar{CD}}. Post?puj?c analogicznie dla pozosta?ych boków czworok?ta otrzymamy kolejn? relacj? równoleg?o?ci, a wi?c nasza figura w istocie jest równoleg?obokiem. c.n.d.[line]

[/size]


Krzysztof Pawlaczek (http://forum.servis.pl/profile.php?mode=viewprofile&u=9587)