Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: przem_as w Lipiec 14, 2008, 06:47:22 pm

Tytuł: [Funkcje] Ciągi liczbowe
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Lipiec 14, 2008, 06:47:22 pm
Słowo ciąg może przynieść nam na myśl wiele różnych skojarzeń. Niekiedy bywa tak, że znaczenia naukowe rozmijają się z intuicjami. W przypadku ciągu wydaje się, że tak nie jest.

Pociąg - na przykład - składa się z kilkunastu wagonów, niekiedy różnych klas i typów. Możemy powiedzieć, że jest to ciąg wagonów w takim sensie, że możemy (i umiemy) jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie jakiego typu znajduje się wagon na pierwszym miejscu, drugim miejscu i na każdym kolejnym.

1. Definicja ciągu liczbowego
Zaczniemy od definicji ciągu (niekoniecznie liczbowego).

Definicja (ciągu): Ciągiem nazywamy dowolną funkcję  a:\mathbb{N}\backslash\{0\}\to X, gdzie \mathbb{N}\backslash\{0\} jest zbiorem liczb naturalnych bez zera, a zbiór X jest dowolnym zbiorem.

Dowolność zbioru X sugeruje, że możemy rozważać najróżniejsze ciągi: cyfr, liczb, osiołków, planet czy nawet funkcji. Ważne jednak jest to, że musimy umieć je jakoś poustawiać w ciąg czyli określić funkcję.
My będziemy w niniejszym artykule rozważać ciągi liczbowe.

Definicja (ciągu liczbowego): Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję a:\mathbb{N}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}.

Zwyczajowo zamiast pisać a(10)=7, stosujemy zapis a_{10}=7 i zamiast mówić, że funkcja a przyjmuje na argumencie 10 wartość 7, mówimy dziesiąty wyraz ciągu to 7.
Ogólnie n-ty wyraz ciągu zapisujemy jako a_n

Ciąg \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} nazywamy:

a) ciągiem rosnącym, o ile: \qquad\forall_{n}\; a_n<a_{n+1}

b) ciągiem malejącym, o ile: \qquad\forall_{n}\; a_n>a_{n+1}

c) ciągiem niemalejącym, o ile: \qquad\forall_{n}\; a_n\leq a_{n+1}

d) ciągiem nierosnącym, o ile: \qquad\forall_{n}\; a_n\geq a_{n+1}

Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=\frac{n+3}{n}
Rozwiązanie:
Wyznaczmy n+1 wyraz tego ciągu: a_{n+1}=\frac{(n+1)+3}{n+1}=\frac{n+4}{n+1}
Zgodnie z definicją mamy określić jaka jest zależność między n-tym a n+1 wyrazem ciągu.
Zbadajmy różnicę a_{n+1}-a_n:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+4}{n+1}-\frac{n+3}{n}=\frac{(n+4)\cdot n-(n+1)\cdot(n+3)}{n(n+1)}=\frac{-3}{n(n+1)}<0

Jeśli a_{n+1}-a_n<0 to a_{n+1}<a_n czyli ciąg \{a_n\} jest malejący.

2. Ciąg arytmetyczny
Definicja. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg (a_n) dla którego istnieje stała liczba rzeczywista r, zwana różnicą ciągu, że \forall_{n\in\mathbb{N}} a_{n+1}=a_n+r

Jeśli r>0, to ciąg jest rosnący, gdy r<0 to ciąg jest malejący. Dla r=0 mamy oczywiście ciąg stały.

Przykłady

a) (1,2,3,4)\quad r=1,\; a_1=1 ciąg rosnący o długości 4
b) (1,2,3,4,\dots)\quad r=1,\; a_1=1 ciąg rosnący nieskończony
c) (7,5,3,1,\dots)\quad r=-2,\; a_1=7 ciąg malejący nieskończony
d) (-13,-13,-13,\dots)\quad r=0,\; a_1=-13 ciąg stały, stale równy -13

Twierdzenie (Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego)
\forall_{n\in\mathbb{N}}\;\; a_n=a_1+(n-1)\cdot r


Dowód (indukcyjny):
Niech L oznacza lewą stronę równania, P oznacza prawą stronę równania z tezy twierdzenia
Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:
L: a_1
P: a_1+(1-1)r=a_1
Prawa strona równa się lewej, zatem wzór jest prawdziwy dla n=1.
Załóżmy teraz, że wzór jest prawdziwy dla pewnego k\in\mathbb{N}. Pokażemy, że wzór jest również prawdziwy dla liczby k+1:

a_{k+1}=a_k+r=a_1+(k-1)\cdot r+r=a_1+k\cdot r

pierwsza równość wynika z definicji, a druga z poczynionego wcześniej założenia.
Na mocy Zasady Indukcji Matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.

Przykład (wykorzystanie twierdzenia)
Wiadomo, że a_1=3,\; r=2. Oblicz a_{1971}.
a_{1971}=3+(1971-1)\cdot 2=3943


Twierdzenie
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (poza pierwszym oraz w przypadku ciągu skończonego poza ostatnim) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Dowód.
\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_1+(n-2)r+a_1+nr}{2}=\frac{2a_1+(2n-2)r}{2}=\frac{2a_1+2(n-1)r}{2}=a_1+(n-1)r=a_n<br />


Twierdzenie (Wzór na sumę n wyrazów początkowych ciągu arytmetycznego)
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Dowód (indukcyjny)
Łatwo sprawdzić prawdziwość wzoru dla n=1.
Załóżmy, że dla pewnego k\in\mathbb{N} wzór jest prawdziwy. Wykażemy prawdziwość wzoru dla k+1:

S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot k+a_{k+1}=\frac{[a_1+a+1+(k-1)r]k+2(a_1+kr)}{2}=

=\frac{2a_1(k-1)+k(k+1)r}{2}=\frac{a_1+(a_1+kr)}{2}(k+1)=\frac{a_1+a_{k+1}}{2}(k+1)


Przykład
Obliczyć sumę wszystkich liczb nieparzystych mniejszych od 100.

Rozwiązanie:
Liczby 1,3,5,7,...,99 tworzą ciąg arytmetyczny: a_1=1,r=2,n=50
1+3+5+\dots+99=\frac{1+99}{2}\cdot 50=2500

3. Ciąg geometryczny
Definicja. Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem geometrycznym, o ile istnieje q\neq 0 taka, że dla każdego n spełniony jest warunek:

a_{n+1}=q\cdot a_n

Liczbę q będziemy nazywać ilorazem ciągu.
Z definicji wynika, że żaden z wyrazów nie może być równy 0.

Przykłady
a) (1,2,4,8)\quad q=2,\;a_1=1 ciąg rosnący skończony
b) (1,2,4,8,\dots)\quad q=2,\;a_1=1 ciąg rosnący nieskończony
c) (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots)\quad q=\frac{1}{2},\;a_1=1 ciąg malejący nieskończony
d) (-2,4,-8,16,\dots)\quad q=2,\;a_-2=-2 ciąg nieskończony, nie jest monotoniczny

Twierdzenie (Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego)
a_n=q^{n-1}a_1


Dowód analogiczny do odpowiedniego dowodu odpowiedniego tw dla ciągów arytmetycznych.

Przykład. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego a_1=2,q=3. Obliczyć a_5\mbox{ i } a_7

a_5=a_1\cdot q^{5-1}=2\cdot 3^4=162\\a_7=a_5\cdot q^2=162\cdot 3^2=1458


Twierdzenie (Wzór na sumę n wyrazów początkowych ciągu geometrycznego)

 S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\mbox{  gdy } q\neq 1\\ S_n=n\cdot a_1 \mbox{  gdy } q=1


Dowód.
Dla przypadku q=1 wzór jest oczywisty. Rozpatrzmy, więc q\neq 0. Dowód będzie indukcyjny:
n=1 wzór pozostaje prawdziwy (łatwo sprawdzić)
Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnego k\in\mathbb{N}, rozpatrzmy S_{k+1}
S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=a_1\cdot\frac{1-q^k}{1-q}+a_1\cdot q^k=a_1\cdot\(\frac{1-q^k+(1-q)q^k}{1-q}\)=a_1\cdot\frac{1-q^{k+1}}{1-q}


Przykład
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w którym a_1=2 q=2

S_{10}=2\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=2\cdot\frac{1-1024}{-1}=2046