Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Czerwiec 17, 2008, 05:20:11 pm

Tytuł: [F.liniowa] Układy równań i nierówności
Wiadomość wysłana przez: lemon w Czerwiec 17, 2008, 05:20:11 pm
UKŁADY RÓWNAŃ


W przypadku funkcji liniowej rozwiązanie układu równań polega na geometrycznej interpretacji układu, a nie na jego algebraicznym rozwiązaniu.

Każdy układ równań jest:[list=a]
układem oznaczonym (gdy rozwiązaniem jest jedna para liczb. Proste opisane równaniami tego układu przecinają się w jednym punkcie, którego współrzędne są rozwiązaniem)
układem sprzecznym (gdy układ nie ma rozwiązań. Proste opisane równaniami tego układu to dwie różne proste równoległe)
układem nieoznaczonym (gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Proste opisane równaniami tego układu pokrywają się).[/list]

Przykład 1:
Rozwiąż graficznie układ równań

\left\{\begin{array}{cc}3x - 2y = 4 \\ 3x - y = 5 \end{array}\right

By móc narysować wykres funkcji musimy mieć równania w postaci kierunkowej:
-2y = -3x + 4/ :(-2)
y=1,5x - 2

-y=-3x + 5 / \cdot(-1)
y=3x-5

\left\{\begin{array}{cc}y=1,5x - 2 \\ y=3x-5 \end{array}\right

Rysujemy wykresy funkcji:
(http://img138.imageshack.us/img138/1180/rys0nt0.jpg)

Współrzędne punktu przecięcia są rozwiązaniem:
\left\{\begin{array}{cc} y=3 \\ y=4 \end{array}\right


Przykład 2:
Dla jakich wartości parametru k układ równań:
\left\{\begin{array}{cc}x-y=2 \\kx+2y=4 \end{array}\right[list=1]
jest oznaczony
jest nieoznaczony
jest sprzeczny[/list]

Najpierw przechodzimy do postaci kierunkowej
-y=-x+2 / \cdot (-1)
y=x-2

2y=-kx + 4 / :2
y=-\frac{k}{2}x + 2

\left\{\begin{array}{cc}y=x-2 \\y=-\frac{k}{2}x + 2 \end{array}\right

a) oznaczony jest wówczas, gdy współczynniki kierunkowe są są różne
a_1 = 1
a_2 = -\frac{k}{2}

-\frac{k}{2} \neq = 1 / \cdot(-2)
 k \neq = -2

odpowiedź: k ≠ -2

b) nieoznaczony jest, gdy współczynniki kierunkowe oraz stałe b są równe

odpowiedź: k \in \empty a więc nigdy, gdyż stała b_1 \not= b_2, a parametr k nie ma wpływu, by to zmienić.

c) sprzeczny będzie, kiedy współczynniki kierunkowe będą takie same, a stałe b różne.

Wykorzystamy podpunkt a, w którym to już liczyliśmy.
-\frac{k}{2} = 1 / \cdot(-2)

odpowiedź: dla k=2


Przykład 3:
a) Podaj równania prostych AC, BD. Wyznacz ich punkt przecięcia P.
b) Oblicz pole trójkąta ABP.
c) Podaj równanie prostej pionowej dzielącej równoległobok na dwie części o równych polach.
(http://img520.imageshack.us/img520/4993/rys1zu5.jpg)

a) Wyznaczamy współrzędne punktów:
A=(-3;-1)
B=(3;-1)
C=(7;7)
D=(1;7)
(http://img125.imageshack.us/img125/9628/rys2ci5.jpg)

Podstawiamy współrzędne do równania kierunkowego i rozwiązujemy układ równań:
\left\{\begin{array}{cc}-1=-3a + b / \cdot(-1) \\7=-7a + b \end{array}\right
\left\{\begin{array}{cc}1=3a - b  \\7=-7a + b \end{array}\right
8=10a / :10
a=0,8
7=7\cdot\frac{4}{5} + b
7=\frac{28}{5} + b
b=7-5\frac{3}{5}
\left\{\begin{array}{cc}b=1,4 \\ a=0,8 \end{array}\right
y= 0,8x + 1,4

\left\{\begin{array}-1=3a + b / \cdot(-1) \\7=a + b \end{array}
\left\{\begin{array}1=-3a - b \\7=a + b \end{array}
8=-2a / :(-1)
a=-4
y=-4x + 11
7=-4 + b
\left\{\begin{array}b=11 \\ a=-4 \end{array}\right
y=-4a + 11

Licząc współrzędne punktu przecięcia skorzystamy ze wzoru na środek danego odcinka AB:
S=(\frac{x_a + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2})
Podstawiamy współrzędne odcinka AC lub BD.
P=(\frac{-3+7}{2} ; \frac{-1+7}{2}) = (2;3)

b)
(http://img111.imageshack.us/img111/4363/rys3hb9.jpg)
Jako, że żadna z prostych nie spełnia warunku prostopadłości wysokość obliczymy ze wzoru na od prostej.
d=\frac{|A_x_0 + B_y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
P=9x_0;y_0)=(2;3)
prosta l wyrażona jest równaniem A_x + B_y + C = 0. W naszym przypadku będzie to y+1=0 (Równanie wydaje się być niepełne. Jest to spowodowane tym, że A=0 oraz B=1)

h=\frac{|0+3+1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{4}{1} = 4
a= x_B - x_A = 3-(-3) = 6
P=\frac{a \cdot h}{2} = \frac{6\cdot 4}{2} = 12

c) Prosta pionowa musi przechodzić przez punkt przecięcia przekątnych równoległoboku.
(http://img505.imageshack.us/img505/918/rys4bm0.jpg)
P=(2;3)
x=2




UKŁADY NIERÓWNOŚCI


Rozwiązanie układu nierówności polega na wyznaczeniu zbioru wartości, dla których warunki układu sa spełnione.

Zapamiętaj:[list=a]
półpłaszczyznę zawierającą swoją krawędź nazywamy półpłaszczyzną domkniętą (linia ciągła)
półpłaszczyznę, do której nie należy żaden punkt z jej krawędzi nazywamy półpłaszczyzną otwartą (linia przerywana)[/list]

Przykładowe nierówności:
(http://img372.imageshack.us/img372/1358/nier1rr2.jpg)

Przykład 1:
Przedstaw graficznie ukłąd nierówności. Czy punkt (-4;3) należy do zaznaczonego obszaru?
\left\{\begin{array}{cc}x+y \leq 0 \\y <3 \end{array}\right

Rysujemy proste opisane równaniem y=3 oraz y=-x-1.
(http://img397.imageshack.us/img397/559/nier2ss2.jpg)

Zaznaczamy odpowiednio nierówności
(http://img164.imageshack.us/img164/9905/nier3fn6.jpg)

Punkt (-4;3) nie należy do zaznaczonego obszaru, gdyż w nierówności y<3 - zbiór wartości D^{-1} \in (3; \infty)