Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Czerwiec 14, 2008, 10:13:02 pm

Tytuł: [F.liniowa] Równanie kierunkowe, równanie ogólne
Wiadomość wysłana przez: lemon w Czerwiec 14, 2008, 10:13:02 pm
RÓWNANIE KIERUNKOWE


Wzór na postać kierunkową:
\red y=ax+b
(gdzie x należy do wszystkich liczb rzeczywistych oraz a i b są stałymi)

Stała a - zwana także współczynnikiem kierunkowym prostej bądź (w przypadku gdy b=0 możemy ją nazwać także współczynnikiem proporcjonalności). Pozwala na odczytanie wielu ważnych informacji o funkcji:

 Jeżeli a>0 to funkcja jest rosnąca
 Jeżeli a=0 to funkcja jest stała
 Jeżeli a<0 to funkcja jest malejąca
 Jeżeli a≠0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe \fs2 (x=-\frac{b}{a})

Współczynnik kierunkowy możemy bezpośrednio obliczyć mając podane dwa różne punkty \fs2 (x_1;y_1) oraz \fs2 (x_2;y_2) przechodzące przez prostą wyrażoną wzorem \fs2 y=ax+b za pomocą wzoru:
a=\frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}


Współczynnik kierunkowy a prostej \fs2 y=ax+b jest równy tangensowi kąta \fs2 \alpha, jaki prosta ta tworzy z osią OX: \fs2 \blue a=\ \mbox{tg}\ \alpha

Stała b - mówi nam o miejscu przecięcia z osią OY w punkcie (0,b)

Przykładowe wykresy funkcji f(x):
(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=291) (http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=292) (http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=293)

Zapamiętaj! Funkcja  \fs2 \red y=ax+b:[list=a]
Ma jedno miejsce zerowe gdy a≠0
Nie ma miejsc zerowych gdy a=0 oraz b≠0
Ma nieskończenie wiele miejsc zerowych gdy a=0 oraz b=0
[/list]
Przykład 1Dana jest funkcja \fs2 f(x)=-x+2:
 a) Znajdź miejsca zerowe tej funkcji
 b) Podaj współrzędne punktu przeciecia z osią OY.
 c) Podaj argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą 5.
 d) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

 a) Miejsce zerowym nazywany punkt przecięcia z osią OX. Możemy je wyznaczyć ze wzoru: \fs2 x=\frac{-b}{a}
\fs2 x_0=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{-1}=2

 b) Punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0;b). Jako, że b=2, możemy zapisać, że PP(0;2). Warto również zwrócić uwagę na to, iż w tym punkcie argument (czyli x) wynosi 0. Można zatem rozwiązać równanie: \fs2 y= -1 \cdot 0 +2 = 2.

 c) Mając podaną wartość, czyli y, która wynosi 5, musimy wyznaczyć x:
\fs2 y=-x+2

\fs2 5=-x+2

\fs2 x=2-5=-3

 \fs2 f(5)=-3

 d) Musimy podać zbiór x, dla których y będzie większy lub równe 0:
\fs2 y \geq 0
Wiedząc, że y=-x+2 podstawiamy za y wyrażenie  –x+2.
\fs2 -x +2 \geq 0
\fs2 2 \geq x
W przypadku nierówności warto także zaznaczyć rozwiązanie na osi liczbowej:
(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=290)
x \in (- \infty ; 2 >



Przykład 2Zbadaj monotoniczność funkcji w zależności od parametru m:\fs2 f(x)=(\frac{1}{2} - 2m)x - 4

Badanie monotoniczności funkcji polega na wyznaczeniu przedziałów, w których funkcja jest rosnąca (a>0), malejąca (a<0) lub stała (a=0). Współczynnik kierunkowy wynosi: \fs2 a=\frac{1}{2} - 2m zaś wyraz wolny \fs2 b=-4
a=\frac{1}{2} - 2m

Funkcja jest rosnąca dla a>0; stała dla a=0; malejąca dla a<0.

\fs2 \frac{1}{2} - 2m > 0     ← funkcja rosnąca
\fs2 \frac{1}{2} > 2m /:2
\fs2 m < \frac{1}{4}

\fs2 \frac{1}{2} - 2m = 0     ← funkcja stała
\fs2 \frac{1}{2} = 2m /:2
\fs2 m = \frac{1}{4}

\fs2 \frac{1}{2} - 2m < 0     ← funkcja malejąca
\fs2 \frac{1}{2} < 2m /:2
\fs2 m > \frac{1}{4}

Odpowiedź: funkcja jest rosnąca dla \fs2  m < \frac{1}{4}; stała dla \fs2  m = \frac{1}{4}; malejąca dla \fs2  m > \frac{1}{4}.




RÓWNANIE OGÓLNE


Wzór równania ogólnego prostej:
Ax + By + C = 0
(gdzie A≠0 lub B≠0)


Przykład 1:
Zapisz równanie y=\frac{1}{4}x + 2 w postaci ogólnej:
y=\frac{1}{4}x + 2     ← postać kierunkowa
y -\frac{1}{4}x -2=0     ← przesuwamy wszystko na jedną stronę
 - \frac{1}{4}x + y - 2=0     ← postać ogólna


Przykład 2:
Zapisz równanie \frac{1}{8}y + \frac{1}{2}=0 w postaci kierunkowej:
\frac{1}{8}y + \frac{1}{2}=0     ← postać ogólna
\frac{1}{8}y=-\frac{1}{2}/ \cdot8
y=-4     ← postać kierunkowa

Własności równania ogólnego:
Jeżeli A=0 to prosta jest równoległą do osi OX
Jeżeli B=0 to prosta jest równoległa do osi OY
Jeżeli C=0 to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty A=(x_A;y_A)  B=(x_B;y_B).
(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0

Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:

A_1x + B_1y + C_1 = 0
A_2x + B_2y + C_2 = 0

to:[list=a]
są równoległe, gdy A_1B__2 - A_2B_1 = 0
są prostopadłe, gdy A_1A_2 + B_1B_2 = 0
tworzą kąt taki, że 0° < \alpha < 90° i  tg\alpha = \frac{|A_1B_2 - A_2B_1|}{|A_1A_2 + B_1B_2|}
[/list]


Bezpośrednio wzór ogólny prostej możemy wykorzystać także przy liczeniu odległości punktu od prostej.
d=\frac{|A_x_0 + B_y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
gdzie:
współrzędne punktu P to (x_0;y_0)
prosta l wyrażona jest równaniem A_x + B_y + C = 0

(odległość punktu P od prostej l to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt P z punktem na prostej l, tworząc odcinek prostopadły do prostej l)
(http://img212.imageshack.us/img212/9568/prostalrm9.jpg)




PROSTOPADŁOŚĆ I  RÓWNOLEGŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI


Wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy a jest taki sam.

Przykład 1:
Która prosta jest równoległa do prostej l: y=\frac{1}{2}x-2?

l_1:  y=2x -2
l_2:  y=-\frac{1}{2}x
l_3:  y=\frac{1}{2} - 2x
l_4:  y=8 - \frac{1}{2}x
l_5:  y=\sqrt{3} + \frac{1}{2}

Odpowiedź: l \parallel  l_5 gdyż współczynnik kierunkowy jest taki sam i wynosi a=\frac{1}{2}.


Prostopadłość prostychy=ax+b (a≠0) oraz y=a_1x + b_1 istnieje wówczas, gdy a\cdot a_1 = -1 (a_1=-\frac{1}{a}).

Przykład 1:
Sprawdź, czy prosta y=-2x oraz y=\frac{1}{4}x-2 są prostopadłe.
a=-2 oraz a_1=\frac{1}{4}
-2\cdot\frac{1}{4}=-1     ← sprzeczność!

Odpowiedź: proste nie są prostopadłe.


Przykład 2:
Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt P=(1;9) do prostej l: y=-0,1x + 2002.

-0,1\cdot a_1 = -1 / \cdot (-10)     ← korzystamy ze wzoru na prostopadłość
a_1 = 10
Mamy więc prostą l_2: y=10x + b
Za x oraz y podstawiamy współrzędne punktu P.
9=10 + b_1
b_1=-1
l_2:  y=10x - 1

Odpowiedź: równanie tej prostej to y=10x-1.[color=000000][/color]