Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: przem_as w Wrzesień 13, 2010, 10:28:41 am

Tytuł: [Algebra liniowa] Macierze
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Wrzesień 13, 2010, 10:28:41 am
Poniżej będziemy zakładać, że  n,m\in\mathbb{N} są pewnymi ustalonymi liczbami naturalnymi oraz i\in\{1,\dots, m\}, j=\{1,\dots, n\}.

1. Pojęcia wstępne


Definicja Macierzą A wymiaru m\times n (m na n) nazywamy dowolną funkcję A:\,\{1,2,\dots, m\}\times\{1,2,\dots,n\}\to\mathbb{R}.

Mówiąc nieformalnie, macierz będziemy zapisywali i traktowali jako prostokątną tablicę o dokładnie m-wierszach i
n-kolumnach, której elementami są liczby rzeczywiste. Będziemy wówczas pisać krótko: A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}).

Przykład 1 Rozważmy macierz A:
A=\begin{bmatrix}<br />\pi & 0 & -5\\<br />-3 & 1 & 10<br />\end{bmatrix}.

Formalnie elementami macierzy są wartości funkcji A. W powyższym przypadku A : \{1,2\}\times\{1,2,3\}\to \mathbb{R} i na przykład A((1,1))=\pi i A((2,3))=10. Elementy te są jednoznacznie wyznaczone przez dwie liczby naturalne będące współrzędnymi elementu w tablicy. Stosuje się więc skróconą notację: a_{11}=\pi oraz a_{23}=10.

Zapis A=[a_{ij}] będzie oznaczał macierz
A=\begin{bmatrix}<br />a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\<br />a_{21} & a_{22}  & \dots & a_{2n}\\\\<br />\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />a_{m1} & a_{m2} &  \dots & a_{mn}<br />\end{bmatrix}.

Powiemy, że macierze A=[a_{ij}] i B=[b_{ij}] tego samego wymiaru są równe, jeśli
\forall_{i,j}\; a_{ij}=b_{ij}.

Macierz A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) (o dokładnie n-wierszach i n-kolumnach) nazywamy macierzą kwadratową.

Główną przekątną macierzy A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) nazywamy wektor [a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}].

Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową
\mathbb{1}=\begin{bmatrix}<br />1 & 0 & \dots & 0\\<br />0 & 1  & \dots & 0\\\\<br />\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />0 & 0 &  \dots & 1<br />\end{bmatrix}.

Macierzą zerową nazywamy macierz kwadratową
\mathbb{0}=\begin{bmatrix}<br />0 & 0 & \dots & 0\\<br />0 & 0  & \dots & 0\\\\<br />\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />0 & 0 &  \dots & 0<br />\end{bmatrix}.


2. Działania na macierzach


Poniżej wprowadzimy działania dodawania i mnożenia macierzy oraz mnożenia macierzy przez liczbę.

2.1 Dodawanie macierzy

Definicja Niech A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}). Sumą macierzy A i B nazywamy macierz

A+B=[a_{ij}+b_{ij}]\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}).

Uwagi:
1. Zauważmy, że dodawanie macierzy jest przemienne i łączne, to znaczy

A+B=B+A oraz A+(B+C)=(A+B)+C

wynika to z przemienności i łączności działania dodawania liczb rzeczywistych.
2. Dodawać możemy jedynie macierze tego samego wymiaru.

2.2 Mnożenie przez liczbę

Definicja Niech r\in\mathbb{R} będzie liczbą rzeczywistą oraz niech dana będzie macierz A=[a_{ij}]\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}). Wynikiem mnożenia macierzy A przez liczbę r nazywamy macierz

rA=[r\cdot a_{ij}]\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}).

Własności dodawania i mnożenia macierzy przez liczbę:

1. r(A+B)=rA+rB=Ar+Br=(A+B)r

2. (r+s)A=rA+sA=Ar+As=A(r+s)

3. (rs)A=r(sA)

Powyższe trzy własności wynikają wprost z własności działań na liczbach rzeczywistych.

2.3 Mnożenie macierzy

Definicja Niech dane będą macierze A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}), B\in\mathbb{M}_{n\times k}(\mathbb{R}). Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C=[c_{pq}]\in\mathbb{M}_{m\times k}(\mathbb{R}), której (p,q)-ty wyraz dla p\in\{1,\dots,m\}, p\in\{1,\dots,k\} jest postaci:

c_{pq}=a_{p1}b_{1q}+a_{p2}b_{2q}+\dots+a_{pn}b_{nq}=\sum_{s=1}^n a_{ps}b_{sq}.

To znaczy wyraz (p,q) macierzy C powstaje w wyniku wymnożenia p-tego wiersza macierzy A przez q-tą kolumną macierzy B tak jak to pokazuje poniższy rysunek:
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=532)
Rys.1 Schemat ilustrujący mnożenie macierzy


Przykład 2
\begin{bmatrix}<br />2 & 1 & 0\\<br />-1 & 0 & 4\\<br />0 & 0 & 1<br />\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1 \\10\\-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12 \\-21\\-5 \end{bmatrix}
Uwaga:
W ogólności dla macierzy tych samych wymiarów nieprawdą jest AB=BA, to znaczy mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Własności mnożenia macierzy:

1. Dla dowolnej macierzy A zachodzi \mathbb{1}\cdot A=A\cdot\mathbb{1}

2. (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)

3. (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C  oraz  C\cdot(A+B)=C\cdot A+C\cdot B

Definicja Macierzą transponowaną macierzy A=[a_{ij}]\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) nazywamy macierz A^T=[a_{ji}]\in\mathbb{M}_{n\times m}(\mathbb{R}).
To znaczy macierz transponowana to macierz otrzymana poprzez zamianę wierszy z kolumnami.

Przykład 3

Jeśli A=\begin{bmatrix}<br />3 & 2 \\<br />1 & -5\\<br />0 & 20 <br />\end{bmatrix}, to A^T=\begin{bmatrix}<br />3 & 1 & 0\\<br />2 & -5 & 20<br />\end{bmatrix}.

Własności transpozycji:

1. (A+B)^T=A^T+B^T, gdzie A,B - dowolne macierze tego samego wymiaru,

2. (A^T)^T=A, gdzie A - dowolna macierz,

3. (AB)^T=B^TA^T, gdzie A,B - dowolne macierze, które można mnożyć,

4. (rA)^T=rA^T, gdzie A - dowolna macierz, r\in\mathbb{R}.

3. Wyznacznik macierzy


Definicja Dla dowolnej macierzy kwadratowej A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) definiujemy funkcję \det:\; \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R} spełniającą warunki:

(i) \det(A)=\det([a])=a gdy n=1 (macierz 1x1)

(ii) \det(A)=\sum_{k=1}^{n}\;(-1)^{k+l}\cdot \det(M_{kl}) gdy n\geq 2
gdzie \det(M_{kl}) jest wyznacznikiem macierzy M_{kl} powstałej z macierzy A poprzez wykreślenie (usunięcie) k-wiersza i l-kolumny.

W przypadku macierzy rozmiarów 2x2 bądź 3x3 istnieją gotowe wzory pozwalające obliczyć wyznacznik.

Jeśli A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, to wyznacznik jest równy
\det A=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}.


Jeśli A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}, to wyznacznik jest równy

\det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-(a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}).

Ostatni wzór nazywany jest wzorem Sarrusa i choć wygląda groźnie, to łatwo się go nauczyć pamiętając metodę, którą przedstawia obrazek poniżej:
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=543)
Rys.2 Obliczanie wyznacznika macierzy 3x3 metodą Sarrusa

Wyznacznik jest złożony z sumy iloczynów liczonych wzdłuż czerwonych strzałek pomniejszonej o sumę iloczynów wzdłuż niebieskich strzałek.

Przykład 4 Oblicz wyznacznik macierzy A.

a) A=\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}. Wówczas \det A=3\cdot 2-1\cdot 2=4.

b) A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 6\\ -2 & 1 & 3\\  4 & 0 & -5 \end{bmatrix}. Wówczas \det A=(-5+24+0)-(24+0+20)=-25.

c) A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4 & 2\\  -1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1& -1 & -1 \end{bmatrix}.

Wówczas korzystając z warunku (ii) definicji wyznacznika rozwijamy macierz względem 4 kolumny i otrzymujemy:
 
\det A=0+2(-1)^{4+2}\cdot\det\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 3\\  0 & 1 & -1 \end{bmatrix}+3(-1)^{4+3}\cdot\det\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 4\\  0 & 1 & -1 \end{bmatrix}+(-1)(-1)^{4+4}\cdot\det\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 4\\  -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}=
=-22+51-20=9 .


Własności wyznacznika:

1. Transpozycja macierzy nie zmienia wartości wyznacznika.
2. Zamiana miejscami dokładnie dwóch wierszy (bądź kolumn) powoduje zmianę znaku wyznacznika na przeciwny.
3. Jeżeli jeden z wierszy (bądź jedna z kolumn) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (odpowiednio kolumn), to wyznacznik jest równy zero.
4. Dodanie lub odjęcie do wiersza (bądź kolumny) kombinacji liniowej wierszy (kolumn) nie zmienia wartości wyznacznika.
5. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną od 0 powoduje przemnożenie przez tę samą stałą wartości wyznacznika.

4. Szczególne typy macierzy


Poniżej wymienimy i krótko omówimy pewne szczególne typy macierzy, których znajomość pozwala niekiedy ułatwić rachunki. Różnych typów macierzy jest dość dużo, my skupimy się na kilku podstawowych.

4.1 Macierz górnotrójkątna i dolnotrójkątna

Macierz kwadratową postaci:
G=\begin{bmatrix}<br />a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\<br />0 & a_{22}  & \dots & a_{2n}\\\\<br />\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />0 & 0 &  \dots & a_{nn}<br />\end{bmatrix}
nazywamy macierzą górnotrójkątną.
Macierz dolnotrójkątną nazywamy macierz postaci:
D=\begin{bmatrix}<br />a_{11} & 0 & \dots & 0\\<br />a_{21} & a_{22}  & \dots & 0\\\\<br />\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />a_{n1} & a_{n2} &  \dots & a_{nn}<br />\end{bmatrix}.


Własności:

1. G^T=D i D^T=G
2. \det G=\det D=a_{11}\cdot a_{22}\cdot\;\dots\;\cdot a_{nn}=\prod_{i=1}^n a_{ii} (iloczyn elementów z głównej przekątnej)

4.2 Macierz przekątniowa (diagonalna)

Macierzą przekątniową nazywamy macierz mającą zera wszędzie poza główną przekątną. Jest to szczególny przypadek macierzy górnotrójkątnej i dolnotrójkątnej, więc wyznacznik macierzy diagonalnej jest również iloczynem elementów z przekątnej.

4.3 Macierz osobliwa i nieosobliwa

Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero. Jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to macierz tę nazywamy macierzą nieosobliwą.

4.4 Macierz odwracalna

Mówimy, że macierz kwadratowa A jest odwracalna, o ile istnieje macierz kwadratowa A^{-1}, taka że zachodzą równości:
A\cdot A^{-1}=\mathbb{1}=A^{-1}\cdot A


Macierz ma macierz odwrotną (to znaczy jest odwracalna), jeśli jest nieosobliwa. Wówczas element b_{kl}\in A^{-1} wyraża się wzorem:
b_{kl}=\frac{1}{\det A}\cdot (-1)^{k+l}\cdot\det(M_{lk}),

gdzie \det(M_{lk}) jest wyznacznikiem macierzy M_{lk} powstałej z macierzy A poprzez wykreślenie (usunięcie) l-wiersza i k-kolumny (uwaga na indeksy!).

Można również wcześniej transponować macierz A i wykreślać odpowiednie (bez zamiany wskaźników) wiersze i kolumny.

Przykład 5

a) Jeśli A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d \end{bmatrix}, to \det A=ad-bc oraz
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a \end{bmatrix}.


b) Jeśli A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, to \det A=3 oraz przyjmując A^{-1}=[b_{kl}] mamy:

B=A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2\\ 2 & 3 & -7 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br />,
gdzie na przykład:

b_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\det\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=1,
b_{13}=(-1)^{1+3}\cdot\det\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix}=-2,
b_{21}=(-1)^{1+2}\cdot\det\begin{bmatrix} -3 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}=2,
b_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\det\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -3 & 1 \end{bmatrix}=-7.


Własności operacji odwrotności macierzy:

1. (A^{-1})^{-1}=A, o ile A - macierz odwracalna,

2. (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T, o ile A^T - macierz odwracalna,

3. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, o ile AB - macierz odwracalna.


Grafika
Źródła: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Matrix_multiplication_diagram.svg&filetimestamp=20091021121237#globalusage, http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Sarrus_rule_001.svg
Licencja: GNU Free Documentation License w wersji 1.2 lub nowszej, Creative Commons 3.0.