Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: przem_as w Lipiec 06, 2010, 06:17:37 pm

Tytuł: [Algebra liniowa] Liczby zespolone
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Lipiec 06, 2010, 06:17:37 pm
Poniższe rozważania są próbą wprowadzenia do matematycznego słownika nowych liczb, które poznawane są zazwyczaj na studiach wyższych, chociaż niekiedy wprowadza się je również na poziomie liceum. Stanowią one bardzo ciekawą strukturę, posiadającą kilka ciekawych i nawet zaskakujących własności.

1. Pojęcia wstępne
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór par uporządkowanych:

A\times B=\{(a,b): a\in A,b\in B\} gdzie (a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c \wedge b=d\qquad a,c\in A\; b,d\in B

Rozważmy iloczyn kartezjański \mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{z=(x,y): x,y\in\mathbb{R}\} wraz z działaniami dodawania i mnożenia określonymi następująco:
dla dowolnych z_1=(x_1,y_1) z_2=(x_2,y_2)

z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2) oraz z_1\cdot z_2=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2, x_2\cdot y_1+x_1\cdot y_2)


Wówczas przez zbiór liczb zespolonych będziemy rozumieli zbiór \mathbb{C}=(\mathbb{R}^2,+,\cdot) z działaniami określonymi jak wyżej.

Rys.1 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=452)

Liczby zespolone posiadają przedstawienie w układzie kartezjańskim \mathbb{R}\times\mathbb{R} zwanym płaszczyzną Gaussa.
Re nazywamy osią rzeczywistą, natomiast oś Im osią urojoną. Liczby z osi urojonej nazywamy liczbami czysto urojonymi.

W zbiorze \mathbb{C} wyróżniamy element zerowy i jedynkę, gdzie 0=(0,0) oraz 1=(1,0). Elementy te są wyróżnione przez to, że są elementami neutralnymi odpowiednio względem dodawania i mnożenia, tzn dla dowolnej liczby zespolonej z=(x,y) mamy:
(x,y)+(0,0)=(x,y) oraz (x,y)\cdot (1,0)=(x,y)

dla działań '+' i '\cdot' zdefiniowanych wyżej.

2. Postać algebraiczna liczby zespolonej
Zauważmy, że dowolna liczba zespolona (x,y) może być zapisana w postaci:

(x,y)=(x,0)+(y,0)\cdot (0,1)\equiv x+y\cdot i


gdzie i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1 czyli i=\sqrt{-1} i nazywamy jednostką urojoną.
Zapis z=x+yi nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej z. Zauważmy, że liczba zespolona w postaci algebraicznej 'zbudowana' jest z dwóch części: są to części rzeczywista i urojona. Oznaczamy je następująco:

x=\Re (z)=Re (z) - część rzeczywista liczby z=x+yi
y=\Im (z)=Im (z) - część urojona liczby z=x+yi


Działania na liczbach zespolonych
Niech dane będą dwie liczby zespolone z=a+bi oraz w=c+di. Wówczas określone są cztery podstawowe działania:
a) dodawanie:
z+w=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)\cdot i

b) odejmowanie:
z-w=(a-c)+(b-d)\cdot i

c) mnożenie:
z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi-bd=(ac-bd)+(ad+cb)i

d) dzielenie: w\neq 0+0i:
\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}=\frac{ac-adi+cbi-bd}{c^2+d^2}=\frac{(ac-bd)+(cb-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac-bd}{c^2+d^2}+\frac{cb-ad}{c^2+d^2}i


Dla danej liczby z=x+yi określamy \overline{z}=x-yi i nazywamy sprzężeniem liczby z. Zauważmy, że przy dzieleniu rozszerzaliśmy ułamek przez sprzężenie mianownika, aby pozbyć się jednostki urojonej z mianownika.

Rys. 2 Interpretacja geometryczna sprzężenia liczby zespolonej
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=455)


Twierdzenie (Własności sprzężenia)
1. \forall_{z\in\mathbb{C}}\;\overline{(\overline{z})}=z

2. \forall_{z,w\in\mathbb{C}}\; \overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}        

3. \forall_{z,w\in\mathbb{C}}\; \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}        

4. \forall_{z,w\in\mathbb{C}}\;\overline{z:w}=\overline{z}:\overline{w}\qquad\mbox{ gdy }w\neq 0

5. \forall_{z\in\mathbb{C}}\; z+\overline{z}=2\Re(z)

6. \forall_{z\in\mathbb{C}}\; z-\overline{z}=2i\Im(z)


3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Modułem liczby zespolonej z nazywamy odległość liczby z od zera, czyli punktu (0,0). Oznaczamy go tak samo jak wartość bezwzględną dla liczb rzeczywistych. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że |z|=\sqrt{x^2+y^2}

Rys. 3 Moduł i argument liczby zespolonej
(http://www.naukowy.pl/album_pic.htm?pic_id=453)


Argumentem liczby zespolonej z nazywamy miarę kąta skierowanego jaki tworzy wektor \vec{z} z osią \Re i oznaczamy go \arg z=\varphi. Zauważmy, że każdy kąt (właściwie miara kąta) \varphi+2k\pi dla k\in\mathbb{Z} jest argumentem liczby z. Wówczas kąt \varphi\in[0,2\pi) będziemy nazywać argumentem głównym liczby z.

Zauważmy, że \sin\varphi=\frac{y}{|z|} oraz \cos\varphi=\frac{x}{|z|}, skąd dostajemy, że y=|z|\sin\varphi i x=|z|\cos\varphi. Wstawmy teraz otrzymane zapisy do wzoru na postać algebraiczną. Otrzymamy wówczas:

z=x+yi=|z|\cos\varphi+i|z|\sin\varphi=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)

to przedstawienie nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Interpretacja tego przedstawienia jest dość prosta. Podobnie jak przy postaci algebraicznej każdy punkt płaszczyzny Gaussa był jednoznacznie wyznaczony przez jego współrzędne na osi rzeczywistej i urojonej, tak tutaj każdy punkt jest jednoznacznie wyznaczony przez jego odległość od punktu 0=(0,0) oraz argument.
Postać trygonometryczna bardzo upraszcza wykonywanie potęgowanie liczb zespolonych.
Twierdzenie (de Moivre'a)
Niech z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi). Wówczas:
(i)
\forall_{n\in\mathbb{N}}\quad z^n=|z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)


(ii) Liczby z_k spełniające równanie z^n=w (pierwiastki k-tego stopnia) dane są wzorami:

z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot \(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\)\qquad 0\leq k\leq n-1


Twierdzenie to pokazuje jak prostym procesem staje się potęgowanie liczb zespolonych nawet dla dużych wykładników, co mamy dzięki okresowości funkcji sinus i cosinus. Druga część twierdzenia zawiera w sobie stwierdzenie: "wielomian n-tego stopnia ma dokładnie n rozwiązań zespolonych". Twierdzenie to nazywane jest zasadniczym twierdzeniem algebry.
Odpowiednik tego twierdzenia nie istnieje dla liczb rzeczywistych. Zatem w liczbach zespolonych sytuacja, kiedy wyróżnik trójmianu kwadratowego (popularnej 'delty') jest ujemny nie uprawnia nas do stwierdzenia, że równanie nie ma rozwiązań. Nie ma rozwiązań rzeczywistych, ma za to zespolone i dokładnie dwa (niekoniecznie różne).

4. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Szereg
e^z:=\sum_{i=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\(1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\dots\)
jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego z\in\mathbb{C}.

Własności e^z:
a)
e^0=1

b)
\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}\qquad e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}

c)
\forall z\in\mathbb{C}\qquad e^z\neq 0


Szeregi \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} oraz \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!} są zbieżne (bezwzględnie) dla dowolnej liczby zespolonej z.

Definicja
\sin z:=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad\qquad\qquad \tan z:=\frac{\sin z}{\cos z}

\cos z:=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\qquad\qquad\qquad\qquad \cot z:=\frac{\cos z}{\sin z}

Własności:

d)
\forall z\in\mathbb{C}\qquad e^{iz}=\cos z+i\sin z

e)
e^{i\pi}+1=0 (Najpiękniejszy wzór matematyki) [/tex]

f)  
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} (Wzory Eulera)

g)
\sin^2 z+\cos^2 z=1 (Jedynka trygonometryczna - wersja zespolona)

h)
e^z=1 \Leftrightarrow z=2k\pi i,\;k\in\mathbb{Z}

i)
Funkcja z\to e^z jest okresowa o okresie podstawowym 2\pi i,\quad \forall z\in\mathbb{C}\;\; e^{z+2k\pi i}=e^z


Własności pozostawiamy bez dowodu, są one prostymi konsekwencjami powyższych definicji.