Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Lipiec 18, 2008, 01:27:20 pm

Tytuł: [Algebra] Procenty
Wiadomość wysłana przez: lemon w Lipiec 18, 2008, 01:27:20 pm
Procenty to nic innego jak setna część ułamka. 1% to \frac{1}{100}, 123% to \frac{123}{100}, itd. Są one tak często wykorzystywane, że nieumiejętność operowania nimi może wywołać wiele niepotrzebnych problemów. Zanim przejdziemy do przykłądów chciałbym tylko przypomnieć, że procentów można używać tylko i wyłącznie w odniesieniu do jakiś wartości, np. liczby ludności, ceny bluzki, czy sprawności urządzenia.


Wyróżniamy trzy rodzaje działań na procentach:[list=a]
Obliczanie procentu danej liczby (mamy podaną liczbę oraz procent, musimy obliczyć druga liczbę)
Obliczanie jakim procentem jednej jest druga (mamy podane dwie liczby, musimy obliczyć procent jednej z drugiej)
Wyznaczanie liczby, gdy dany jest jej procent (mamy podaną drugą liczbę oraz procent, musimy wyznaczyć pierwszą liczbę)[/list]

Obliczanie procentu danej liczby:
Bluzka kosztowała 135zł i obniżono jej cenę o 26%. Ile kosztuje bluzka po obniżce?

Przypominam 26% = \frac{26}{100}
Od 100% odejmujemy (gdyz cenę obniżono) 26%. 100% - 26% = 74%= \frac{74}{100}
135zl \cdot 74% = 135zl \cdot \frac{74}{100} = \frac{135 \cdot 74}{100}zl = 99,9zl
Odpowiedź: Po obniżce bluzka kosztuje 99,9zł


Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga:
Na parkingu jest 280 samochodów. Po pewnym czasie dojechało jeszcze 34. O ile procent zwiększyła się liczba samochodów na parkingu?

Tym razem nie znamy procentu więc opiszemy go w następujący sposób: \frac{x}{100}

Pierwsza liczba to 280, a druga jest o 34 większa od poprzedniej (280+34=314).

280 \cdot \frac{x}{100} = 314

\frac{280 \cdot x}{100} = 314 / \cdot 100

280x = 31400 /:280

x = 112%

Liczba samochodów teraz w stosunku do tych na początku wynosi 112%. Innymi słowy liczba ta zwiększyła się o 12% (Skoro liczba się zwiększyła więc do 100% dodaliśmy te 12%. Tym sposobem wyznacza się od razu sumę tych liczb. Nie jest to jednak prawidłowy wynik - 112%. Prawidłowy będzie dopiero po odjęciu 100%)
(Uwaga: wynik 112 został zaokrąglony. Faktyczna wartość wynosi 112,142857)

Wyznaczanie liczby, gdy dany jest jej procent:
Po naprawie części silnika jego moc wzrosła o 15% i wynosi teraz 200KM. Jaka była moc silnika przed naprawą?

Nie mamy pierwszej liczby więc zapiszemy symbolicznie ją jako x. Skoro moc silnika wzrosła to do 100% dodamy 15%.

x \cdot (100% + 15%) = 200KM

 x \cdot 115% = 200KM

x \cdot \frac{115}{100} = 200KM / \cdot \frac{100}{115}

x=174KM

Odpowiedź: Moc silnika przed naprawą wynosiła 114KM.
(Uwaga: wynik 174 został zaokrąglony. Faktyczna wartość wynosi 173,130435)

Jak widać wszystkie zadania zostały rozwiązane w bardzo podobny sposób. Należy tylko pamiętać: jeśli druga liczba jest większa od pierwszej do dodajemy do 100%. Jeśli zaś druga jest mniejsza do pierwszej do odejmujemy od 100%.

Niewykluczone, że w szkole będziecie rozwiązywać podobne zadania zupełnie innymi metodami. nie chcę jednak wprowadzać zamieszania i wprowadzać ok 10 różnych możliwości rozwiązania tych przykładów. Wystarczy rozumieć jeden i umieć z niego korzystać.