Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Dyskusje => Wątek zaczęty przez: lemon w Luty 09, 2009, 02:29:32 pm

Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 09, 2009, 02:29:32 pm
Witam serdecznie.

Na drodze do dobrego zrozumienia powstania stałej Feigenbauma niezbędna jest umiejętnośc żłożenia dwóch funkcji. Naturalnie szukałem co nieco informacji na ten temat ale taka sucha wiedza nie wiele mi pomogła w praktycznym zrozumieniu tego zjawiska.

Gdyby ktoś mógł mi to pokazać na przykładzie i opisać tak na chłopski rozum to byłbym wdzieczny.

p.s. wiem tylko tyle ze złozenie dwóch funkcji liniowych da funkcje kwadratową  :wink:
Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Luty 09, 2009, 03:31:51 pm
Cytat: lemon
p.s. wiem tylko tyle ze złozenie dwóch funkcji liniowych da funkcje kwadratową :wink:

Nie wiem skąd to wiesz, ale to nie jest prawda :P

Składanie funkcji to pewna operacja dająca nam w wyniku pewną funkcję, składającą się z dwóch poprzednich. Przykładami funkcji złożonych (funkcji będących wynikiem złożenie dwóch innych funkcji) są: \sin x^2, \ln (\cos x), \sqrt{ax+b}

Weźmy dwie funkcje liniowe f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} określone wzorami f(x)=ax+b oraz g(x)=cx+d

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(ax+b)=c(ax+b)+d=ca\cdot x+cb+d

Dostaliśmy więc funkcję liniową o współczynniku kierunkowym równym ca oraz wyrazie wolnym równym cb+d. Podobnie pokazuje się dla drugiego złożenia.

Chciałem zwrócić uwagę na zapis złożenia: jeżeli używamy operatora złożenia (kółeczka), to funkcje zapisujemy od prawej do lewej. W naszym przypadku jeśli pierw chcemy zadziałać funkcją f a później g, to piszemy (g\circ f) (x) Kolejność jest ważna, bo złożenie funkcji nie jest przemienne.

Ze złożenie funkcji korzysta się chyba dość często ale pierwsze spotkanie z tym pojęciem pojawia się przy omawianiu funkcji odwrotnych. Wiemy, że pierwiastkowania i podnoszenie do kwadratu są operacjami odwrotnymi. Zatem funkcje f(x)=\sqrt{x} oraz g{x}=x^2 są wzajemnie odwrotne, bo
f(g(x))=f(x^2)=sqrt{x^2}=x oraz g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x


Chcę zwrócić jeszcze uwagę na dziedziny funkcji. Dotychczas nasze przykłady były funkcjami określonymi na \mathbb{R} o wartościach w \mathbb{R}.
W ogólności jest tak, że jeśli mamy funkcje \pi i \sigma to żeby można było mówić  o złożeniu, muszą one mieć jakiś "punkt zaczepienia", a dokładnie dziedzina jednej funkcji powinna być przeciwdziedziną drugiej.

Czyli jeśli \pi:X\to Y oraz \sigma:Y\to Z to mamy
X\to^{\pi}Y\to^{\sigma}Z

oraz dla x\in X mamy \pi(x)\in Y, który jest dziedziną funkcji \sigma, więc \sigma(\pi(x))\in Z

To tak na szybko. Nie wiem czy czegoś nie ominąłem, więc w razie wątpliwości - pytaj ;)
Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 10, 2009, 09:24:57 am
Dzięki Przemek, potrafisz szybko wytłumaczyć :P

Mam jedno pytanie

Dane są dwie funkcje:
f(x)=\sqrt{x} \qquad g(x)=x^2

(f \circ g)(x)=f(g(x))=(\sqrt{x})^2=x

(g \circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x^2}=x

CHodzi mi czy dobrze wykonuje kolejność działań? :)

[ Dodano: 10 Luty 2009, 09:25 ]
p.s. miałęm funkcje odwrotne, wymierne, homograficzne itp. ale nigdy skłądanai funkcji nei mielismy :(
Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Luty 10, 2009, 10:33:20 am
Cytat: lemon
Dane są dwie funkcje:
f(x)=\sqrt{x} \qquad g(x)=x^2

(f \circ g)(x)=f(g(x))=(\sqrt{x})^2=x

(g \circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x^2}=x

CHodzi mi czy dobrze wykonuje kolejność działań? :)


W tym przypadku nie dobrze.
Użyjmy kolorów:

Niech \red f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} \blue g(x)=x^2

(f \circ g)(x)=\red f(\blue g(x)\red ) = \red (\blue x^2\red )^{1/2}=x

Uff.. trochę to kombinowane, bo nie wiem czy można kolorować fragmenty wzoru, ale myślę, że wydać w czym błąd. Trzeba zgodnie z określeniem funkcji zadziałać pierw funkcją w nawiasie a później tą zewnętrzną poza nawiasem. Ty robiłeś dokładnie na odwrót ;)
Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Luty 10, 2009, 11:39:35 am
Może prościej będzie tak:

(f \circ g)(x)=f(g(x))

Tutaj funkcja g(x) staje się argumentem funkcji f(x), po prostu wstawiasz ją za x we wzorze funkcji f(x). Jeżeli masz f(x)=\sqrt{x} i g(x)=x^2, to dla f(g(x)) wychodzi: f(g(x))=\sqrt{g(x)}=\sqrt{x^2} (podobnie jak z wstawianiem za x konkretnych liczb, np. 2, 3, 0.5). Może to będzie bardziej intuicyjne.
Tytuł: Złożenie funkcji
Wiadomość wysłana przez: lemon w Luty 10, 2009, 11:51:44 am
No faktycznie :D

Dzieki wielkie za pomoc juz wiem o co w tym chodzi :wink: