Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Dyskusje => Wątek zaczęty przez: _Mithrandir w Grudzień 03, 2008, 07:35:51 pm

Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 03, 2008, 07:35:51 pm
Z tego, co wiem, to pochodną (w punkcie czy jak?) liczy się z wzoru:

f \prime (x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x)}{h}

To wszystko? Oczywiście wiem, że są też inne zależności.

Słyszałem też, że wykres pochodnej funkcji w punkcie to linia prosta styczna do wykresu danej funkcji w danym punkcie. Ale widziałem wyliczone pochodne, które nie były zależnością liniową. Więc jak to z tym jest?

Poza tym z powyższego wzoru wynika, że pochodna to granica, a granica z tego, co do tej pory widziałem to liczba, a nie funkcja.

Może ktoś sprostować moje informacje dotyczące pojęcia pochodnej i sposobu obliczania? I przy okazji - w fizyce prędkość i przyspieszenie to pochodne przemieszczenia (pierwsza i druga). Może mi ktoś pokazać to na przykładzie?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Grudzień 03, 2008, 08:13:50 pm
Jeśli ma być to pochodna funkcji f w punkcie x_0, to granica musi wyglądać tak:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Dokładnie mówiąc, jest to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do funkcji f w punkcie x_0.

Taki współczynnik kierunkowy dla różnych punktów (x,f(x)) może być różny, więc może być w ogólności dany jakimś wzorem zależnym od argumentów funkcji f.

Zatem geometrycznie rzecz biorąc pochodna jest to tangens nachylania prostej stycznej do wykresu f, w pkt x_0.

Stąd jeśli weźmiemy zwykłą funkcję liniową f(x)=ax+b, to mamy dla dowolnego argumentu a=\tan\alpha=f^\prime(x)

Z interpretacji geometrycznej łatwo widać na przykład dlaczego jeśli f ma ekstremum w pkt x_0 to f^\prime(x_0)=0 (warunek konieczny istnienia esktremum) Jeśli w x_0 jest ekstremum, to prosta styczna w tym punkcie musi być równoległa do osi OX, czyli tworzy z nią kąt 0^o a \tan 0=0
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 03, 2008, 09:39:15 pm
Co tu można dodać: pochodna w punkcie x_o jest także liczbą. Jeżeli jednak każdemu x-owi funkcji f przyporządkujemy wartość jego pochodnej w tym punkcie, to takie przyporządkowanie tworzy funkcję f'(x).

Pochodna informuje nas o szybkości wzrostu funkcji. Im bardziej stromy wykres tym szybciej rośnie/maleje funkcja. Zauważ, że w danym punkcie tangens nachylenia stycznej w tym punkcie do osi Ox może duży co odpowiada dużemu kątowi a w innym mały kąt co odpowiada małemu tangensowi (patrz wykres f. y=tg(x)). Np. dla takiej f. kwadratowej tangens ten ciągle się zmienia i nie on stałej wartości przez co (pewnie powtórzę przem_asa) dla każdego x_i przypisywany jest \text{tg}x_i i takie uporządkowanie tych par tworzy już pochodną jako funkcję.

Jeśli chodzi o def. pochodnej w punkcie, to symbol h został wprowadzony dla wygody:

f^{\prim}(x_o)=\lim_{x\to x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\;\stackrel{[h=x-x_o]}{=}\;\lim_{h\to 0}\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}


Można policzyć np. pochodną funkcji kwadratowej w pewnym punkcie:

\begin{eqnarray}{f^\prim (x_o)=} \\ & & =\lim_{h\to 0}\frac{a(x_o+h)^2+b(x_o+h)+x-(ax_o^2+bx_o+c)}{h}= \\ & & = \lim_{h\to 0}\frac{ah^2+2ax_oh+h^2+bh}{h}= \\ & & =\lim_{h\to 0}(ah+2ax_o+h+b)= \\ & & =2ax_o+b\end{eqnarray}


Tyle wynosi pochodna funkcji w x_o. Ale można to rozszerzyć do funkcji: f^\prim (x)=2ax+b

Oczywiście liczenie pochodnej z definicji nie jest trudne, ale długie. Istnieją wzory wyprowadzone z definicji ułatwiające liczenie pochodnej. Ale o nich nie dzisiaj (przynajmniej ja).

Co do fizyki to prędkość jest funkcją wektorową i pochodną f. wektorowej położenia. Jak poznasz wzór na pochodną iloczynu, to można o tym pogadać w pełni, bo tylko w układzie współrzędnych kartezjańskich wszystko jest ładnie i fajnie.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 04, 2008, 04:32:26 pm
Cytat: Kris
Jak poznasz wzór na pochodną iloczynu, to można o tym pogadać w pełni, bo tylko w układzie współrzędnych kartezjańskich wszystko jest ładnie i fajnie.


Znam ten wzór, jeżeli w związku z tym chcesz dodać ;)

Rozumiem, że prosta jako wykres pochodnej ogólnie, to bujda.

Wracając do fizyki - mógłbyś pokazać liczenie np. prędkości i przyspieszenia za pomocą pochodnej z jakiejś funkcji wektorowej położenia? Bo inaczej się o tym mówi, a inaczej to wygląda w praktyce dla kogoś, kto właściwie jest w temacie zielony ;)

Przy okazji - pewnie warto dobrze zaznajomić się z tabelką pochodnych na wikipedii?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 04, 2008, 08:09:52 pm
Można się zapoznać z tą tabelką, ale równie dobrze można ją sobie samemu zrobić.  :razz: Kiedyś nie wiedziałem jak policzyć pochodną (a^2-x^2)^2 więc liczyłem z definicji, ale nie polecam.


Co w tej fizyce. Weźmy sobie wektor wodzący w układzie współrzędnych kartezjańskich: \vec r(t)=x\hat x+y\hat y+z\hat z. Mamy tu funkcję wektorową. Policzmy prędkość:

\dot{\vec r}=(x\hat x)^\prim+(y\hat y)^\prim+(z\hat z)^\prim=(\dot{x}\hat x+x\dot{\hat x})+(\dot{y}\hat y+y\dot{\hat y})+(\dot{z}\hat z+z\dot{\hat z})

Pochodne \dot{\hat x}=\dot{\hat y}=\dot{\hat z}=0, gdyż wersory w układzie współrzędnych kartezjańskim nie zmieniają się z czasem - są sztywno związane z osiami a układ nie wykonuje obrotów, zatem

\dot{\vec r}=\dot{x}\hat x+\dot{y}\hat y+\dot{z}\hat z=v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z

Jutro spróbuję Cię przekonać, że pojęcia m.in. prędkości kątowej są konsekwencją wyboru innego układu współrzędnych.

Teraz pozostanę przy układzie kartezjańskim.

Niech ruch ciała będzie dany równaniem  r(t)=2t^2+5t+2. Aby policzyć prędkość trzeba policzyć po prostu pochodną po czasie. \dot{ r}(t)= 2\cdot (2t^{2-1})+1\cdot (5t^{1-1})+0=4t+5, bo pochodna stałej to 0. Teraz trzeba znaleźć przyspieszenie. a=\dot{v}=4+0. Jak widzisz nie jest to takie trudne. W najbliższej przyszłości wypadałoby Ci pokazać jak za pomocą pochodnej określa się monotoniczność funkcji (wtedy nie będzie trzeba liczyć II pochodnej w celu ustalenia czy np. ekstrema to minima czy maksima).

[line]
kropka nad funkcją oznacza pochodną po czasie, dwie kropki drugą pochodną - dla wygody wprowadził Newton - oznaczenie używane w mechanice.

[ Dodano: 4 Grudzień 2008, 20:12 ]
Cytat: _Mithrandir
Rozumiem, że prosta jako wykres pochodnej ogólnie, to bujda.

Nie do końca. Nie każdej pochodnej jeśli już. Np. pochodna f. kwadratowej to prosta.

[ Dodano: 4 Grudzień 2008, 20:13 ]
jeśli nie chcesz czeka z tym ruchem po okręgu to masz coś tutaj http://forum.servis.pl/viewtopic.php?t=15861 ale to chyba mało pedagogiczne.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 05, 2008, 02:47:43 pm
Cytat: Kris
\dot{\vec r}=\dot{x}\hat x+\dot{y}\hat y+\dot{z}\hat z=v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z


A czemu v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z ? Tam miało być dodawanie zamiast znaku równości czy ja coś źle zrozumiałem?

"Różniczkować funkcję" to to samo co "obliczać pochodną funkcji"?

"pochodną po czasie" - tzn. to określenie pierwszej pochodnej czy jak?

Z tego co widzę, pochodna jest ściśle związana ze zmianą czegoś. Jak to dokładniej wygląda?

Przy okazji - jak obliczyć pochodną funkcji złożonej y=cos \omega t? Z tego co wiem, to się oblicza pochodne funkcji elementarnych (czy jak to się tam nazywa?). Wiem, że Pochodna cosx to -sinx. A co z argumentem x=\omega t? Pochodna tego iloczynu to \dot x=\omega \cdot \dot t + \dot \omega \cdot t=\omega? Czyli wtedy całość to  -sin \omega? Bo t to zmienna (pochodna równa 1), a \omega to chyba stała (pochodna równa 0).
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 05, 2008, 04:28:24 pm
Tak, miał być +, nie wyszło :)

Różniczkowanie, to obliczanie pochodnej, wiec tak.

Pochodna po czasie to obliczanie pochodnej względem zmiennej t. Zamiast pisać, że pochodna położenia po czasie \vec r^\prim (t) lub \vec r^\prim _t pisze się \dot{\vec r} i nie trzeba dodawać żadnych wskaźników mówiących o tym, że obliczamy względem jakiejś szczególnej zmiennej. Jeśli np. prędkość zależy od położenia i od czasu to trzeba zaznaczyć po czym różniczkujemy - względem jakiej zmiennej.

Pochodną I rzędu pewnej funkcji można uważać za tempo wzrostu funkcji, czyli pierwsza pochodna informuje nas jak szybko rośnie funkcja. Np. im bliżej wierzchołka paraboli się znajdujemy tym nasz "teren bardziej się wypłaszcza" i pochodna jest tam mała i funkcja rośnie lub maleje tam wolniej.

Pochodna z samej definicji jest związana ze zmianą czegoś. Wszak to granica ilorazu różnicowego.

O pochodnej f. złożonej jest łatwo mówić w notacji Lebnitz'a (kiedy pochodną traktujemy jak zwykłe wyrażenie algebraiczne). Mamy f. x=A\cos(\omega t+\phi), która jest złożeniem funkcji x=A\cos(h(t)) i h(t)=\omega t+\phi. Reguła różniczkowania f. złożonej jest taka:

[f(h(t))]^\prim=f^\prim (h(t))\cdot h^\prim (t) a w notacji Leibnitz'a f^\prim (t)=\frac{df}{dt}=\frac{df}{dh}\cdot \frac{dh}{dt}, czyli pochodna \dot{x}=A\cdot (\cos (h(t)))^\prim\cdot (\omega t+\phi)^\prim =A\cdot (-sin(h(t))\cdot \omega

gdzie omega jest stałą i zgodnie ze wzorem [a*f(x)]'=a*f'(x) wyłączamy ją przed znak pochodnej. fi jest stałą wolno stojącą i jej pochodna wynosi 0. Wracając do podstawienia za h(t) mamy:

\dot{x}=-A\omega\sin(\omega t+\phi)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 06, 2008, 02:55:14 pm
Ok, ten fragment już rozumiem :)

Cytat: Kris
Jutro spróbuję Cię przekonać, że pojęcia m.in. prędkości kątowej są konsekwencją wyboru innego układu współrzędnych.


Jak masz czas, to możesz coś napisać o tym i...

Cytat: Kris
Jak widzisz nie jest to takie trudne. W najbliższej przyszłości wypadałoby Ci pokazać jak za pomocą pochodnej określa się monotoniczność funkcji (wtedy nie będzie trzeba liczyć II pochodnej w celu ustalenia czy np. ekstrema to minima czy maksima).


...i o tym ;)

A i przy okazji. Pochodna wektora \vec a = [x ; y] to \dot {\vec a} = [\dot x; \dot y]?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 06, 2008, 07:58:10 pm
To od końca: TAK

I małe sprostowanie do moich wypowiedzi: kropka nie zawsze oznacza pochodną po czasie.

To co powiem to będą twierdzenia bez dowodów, bo dowody wymagają znajomości twierdzenia Lagrange'a, które wymaga znajomości tw. Rolle'a, które wymaga znajomości własności funkcji ciągłych, które to własności także trzeba dowodzić i jak widać teraz nie ma to sensu. (No chyba, ze ktoś zna inne drogi). Na szczęście te twierdzenia są dość intuicyjne.

TWIERDZENIE
Jeśli \dot{f}(x)>0 na przedziale (a,b), to f rośnie na (a,b)
Jeśli \dot{f}(x)<0 na przedziale (a,b), to f maleje na (a,b)
Jeśli \dot{f}(x)=0 na przedziale (a,b), to f jest stała na (a,b)

Zauważ, że tutaj pochodna rozumiemy jako funkcję. Przy ekstremach naturalnym jest, że skupimy się na pochodnej f. w punkcie.

EKSTREMA (lokalne)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x_o jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie: \dot{f}(x_o)=0.
Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający do istnienia ekstremum. Zobaczmy sztandarowy przykład: y=x^3, \dot{y}=x^2. Pochodna zeruje się w punkcie x=0, ale nie ma tam ekstremum (zobacz wykres). W (0,0) nie ma żadnej górki ani doliny tylko funkcja dalej się wznosi.
Funkcja ma ekstremum w x_o jeśli \dot{f}(x_o)=0 i pochodna w tym punkcie zmienia znak. Np. y=x^2 ma x=0 ekstremum, bo jej pochodna: y'=x zmienia znak w x=0, czyli tam gdzie y'=0. Ekstrema rozgranicza się na minima (pochodna zmienia znak z - na +) oraz maksima (pochodna zmienia znak z + na -). Zauważ, że Jeśli f. maleje (pochodna<0), osiąga ekstremum i zaczyna rosnąć (pochodna>0), to to ekstremum musi być minimum (wykres tworzy taką dolinę). Podobna sytuacja ma się z maksimum lokalnym.

A teraz przykład: określ monotoniczność funkcji i znajdź jej ekstrema oraz nazwij je.
f(x)=\frac{(x-2)^2}{x}
Wskazówka: skorzystać z [f/g]'=(f'g-g'f)/g^2. Zauważ, że znak pochodnej zależeć będzie tylko od znaku licznika. Należy oczywiście wyznaczyć dziedzinę funkcji.

To z  prędkością kątową to jak zrobię, albo znajdę jakiś fajny rysunek.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 07, 2008, 12:16:44 pm
Sama pochodna wyszła mi taka:

f ^\prim (x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}

Monotoniczność:

F. rosnąca w przedziałach ( - \infty, -2), (2, + \infty).

F. stała w punktach -2, 0, 2.

F. malejąca w przedziałach (-2, 0), (0, 2).

Ekstrema:

Maksimum: f(-2)=-8.
Minimum: f(2)=0.



Przy okazji - co oznacza ten zapis: \dot x = {dx \over d \;\cdot\;}, \ddot x = {d^2 x \over d {\;\cdot\;}^2}? Wiem, że to oznacza pochodną. To co w liczniku jest po "d" to funkcja, którą różniczkujemy, a to, co w mianowniku po "d" to zmienna, po której różniczkujemy? Samo "d" ma jakąś szczególną nazwę?

Czyli pochodną można oznaczać kropkami dla dowolnych zmiennych?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 07, 2008, 03:07:31 pm
Cytat: _Mithrandir

F. stała w punktach -2, 0, 2.
poza tym wszystko jest dobrze. Monotoniczności funkcji nie rozpatrujemy w punktach, ale na przedziałach. Wystarczy napisać, że \dot{f}(x)=0\;\text{dla}\; x\in \{-2,2\}. Dziedziną funkcji jest przecież \mathbb{D}=\mathbb{R}-\{0\}, więc z zerze można jedynie policzyć granice lewostronne i prawostronne jeśli chcesz np. narysować wykres funkcji.

Symbol, który podałeś jest kolejnym symbolem pochodnej \dot{x}\equiv x^\prim(\cdot )\equiv \frac{d}{d\cdot}(x). Oczywiście \cdot oznacza tu dowolną zmienną
n-tą pochodna można zaznaczyć jako x^{(n)}(\cdot )\equiv \frac{d^n}{d \cdot^n}(x). To co jest przed nawiasem to symbol pochodnej taki jak prim czy czy kropka.

Samo "d" nic nie oznacza, ale dx jest różniczką funkcji. Ale teraz to mało ważne.

Okazuje się, że można kropki używać do funkcji dowolnej zmiennej, a nie tylko zmiennej czasowej.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 07, 2008, 11:07:52 pm
Dzięki wielkie, to naprawdę kawał dobrej roboty z Twojej strony dla mnie ;) Zrozumiałem wszystko, co mnie nurtowało.

A co z innymi zastosowaniami, jak badania pierwiastków wielokrotnych wielomianu czy wypukłość funkcji? Jest coś jeszcze co powinienem wiedzieć o pochodnych, coś poszerzyć?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 08, 2008, 05:03:09 pm
W zasadzie możesz jeszcze wiedzieć o wypukłości, wklęsłości i punktach przegięcia.
W wielkim skrócie:
- wklęsłość jest wtedy kiedy f''=<0
- wypukłość jest wtedy kiedy f''>=0
Z punktem przegięcia jest podobna sytuacja jak z ekstremami: aby w x_o był punkt przegięcia, to musi zachodzić \ddot{f}(x_o)=0 i ponadto druga pochodna musi w x_o zmieniać znak (czyli zmieniać swoją wypukłość*).

Np. f(x)=x^3 ma w x=0 punkt przegięcia: z f. wklęsłej przechodzi na wypukłą. Zauważ, że o wypukłości można mówić tylko wtedy, gdy funkcja jest przynajmniej dwukrotnie różniczkowalna.

Co do k-krotnych pierwiastków wielomianu:
Jeśli liczba x_1 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu w, to
w(x_1)=\dot{w}(x_1)=\ddot{w}(x_1)=\cdots =w^{(k-1)}(x_1), gdzie (k-1) oznacza (k-1)-pochodną tego wielomianu.
Nie będzie to dowód, ale małe wyjaśnienie dlaczego tak jest: weźmy wielomian w(x)=(x-2)^2(x-1). \dot{w}(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)^2=(x-2)(2x-2+x-2)=(x-2)(3x-4), czli rzeczywiście \dot{w}(2)=w(2)=0.

Pochodnej można jeszcze używać do obliczeń przybliżonych, np. ile wynosi \sqrt{3}? Stosuje się przybliżenie: \frac{\Delta f}{\Delta x}\approx\dot{f}(x_o). Im mniejszy przedział \Delta x tym bardziej nasz wzór jest prawdziwy (mniejszy popełniamy błąd). Wiadomo, że \Delta f=f(x)-f(x_o)=f(x_o+\Delta x)-f(x_o) a \Delta x=x-x_o. Przekształcamy to do postaci

f(x+\Delta x)\approx f(x_o)+\dot{f}(x_o)\Delta x

Weźmy teraz f(x)=\sqrt{x}, \; x_o=4, bo ten pierwiastek znamy i \Delta x=-1.
f(4-1)=f(3)=\sqrt{3}\approx \sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot (-1)=2-\frac{1}{4}=1,75

\sqrt{3}\approx 1,75 - jak widać błąd nie jest aż taki straszny, ale jest. Wynika to z tego, że nasze \Delta x nie jest wystarczająco małe.
Zobacz tym samym sposobem, ile wyjdzie Ci \sqrt{226} lub \sqrt{49,07} a następnie sprawdź co pokazuje kalkulator.

[line]
* wypukłość do góry to wklęsłość, a wypukłość do dołu to wypukłość.
Rysunki oczywiście gdzieżby indziej http://pl.wikipedia.org/wiki/Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 09, 2008, 04:29:46 pm
Dzięki ;) I to już wszystko?

[ Dodano: 9 Grudzień 2008, 16:33 ]
\Delta f=f(x)-f(x_o)=f(+x+\Delta x)
f(x+\Delta x)\approx f(x_o)+\dot{f}(x_o)\Delta x

A skąd te równania? I jak dobierać x_0 i \Delta x?




Rozumiem, że jeżeli \sqrt{a}, to x_0 + \Delta x = a, tak?

[ Dodano: 9 Grudzień 2008, 18:15 ]
Ok, już wszystko jasne, dzięki ;)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 09, 2008, 06:21:40 pm
Fack(t), powinno być \Delta f=f(x)-f(x_o)=f(x_o+\Delta x)-f(x_o), nic dziwnego, ze nie wychodziło z tego równanie, które podałem :p

x_o dobierasz tak, aby znana był wartość f(x_o) oraz aby przedział \Delta x był jak najmniejszy, tzn nie ma sensu licząc sin(50st) dobierać x_o=90^{\circ} tylko x_o=45^{\circ}.

Policzmy sobie \sin(42^{\circ}).

\sin(42^o)\equiv \sin(45^o-3^o)\approx \sin 45^o+(cos 45^o)(-3^o)

3^o\rightarrow \frac{3\pi}{180}=\frac{\pi}{60}, zatem

\sin(42^o)\approx \frac{\sqrt{2}}{2}\(1-\frac{\pi}{60}\)\approx 0,670082756
(oczywiście użyłem kalkulatora, ale dopiero potem)

A wartość wprost z kalkulatora: \sin 42^o=0,669130606

Czyli błąd właściwe niezauważalny. Wszystko za sprawą malutkiego \Delta x. Można to samo zrobić dla x_o=30^\circ, ale tam błąd jest większy i z pewnością popełnimy większy błąd.

Co do innych zastosowań, to pewnie jeszcze całki, przybliżone rozwiązywanie równań, ale w tym już pewnie niewiele zdziałam. No i oczywiście zastosowania, których nie znam (geometria różniczkowa) i kompletnie nie znam (i tu rzecz jasna nie wymienię).
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 09, 2008, 06:42:53 pm
Ok, to to jest już jasne :)

Cytat: Kris
Co do innych zastosowań, to pewnie jeszcze całki, przybliżone rozwiązywanie równań, ale w tym już pewnie niewiele zdziałam.


Z całkami też? Nieraz widziałem, że korzystałeś z nich na forum ;)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 10, 2008, 04:29:16 pm
Dajmy funkcję: f(x)=x^n,\;n\neq -1. Ogólnie całkowanie polega na znalezieniu sumy. Sumujemy iloczyny wartości funkcji i infitezymalnych przedziałów dx, które są tak krótkie, że f(x) uznajemy za stałą w tym przedziale. Zapisuje się to jako:

\int f(x)dx=\int x^ndx

Wynikiem takiego sumowania jest pewna funkcja, która F(x), która spełnia warunek \dot{F}(x)=x^n. Czyli znaleźć całkę funkcji, to znaleźć funkcję, która spełnia powyższy warunek (to się chyba nazywa twierdzenie Leibniza-Newtona, ale nie jestem pewien). Zauważ, że każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C jest stałą spełnia ten warunek, bo pochodna stałej to 0. Nietrudno zauważyć, że dla naszego przypadku

\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,

bo \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)^\prim=(n+1)\cdot \frac{x^{n+1-1}}{n+1}=x^n.
W ten sposób łatwo można znaleźć całki funkcji elementarnych jak i wszystkich innych jeśli świetnie zgadujemy, np

\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C

Pozostańmy przy ostatnim przykładzie, ale z małą modyfikacją: \int \frac{dx}{2\sqrt{ax+b}}. Wstawmy nową zmienną: p=ax+b. teraz trzeba zbadać ja przy zmianie x  zmienia się p, tzn. jak różniczka dp zależy od dx. Trzeba zróżniczkować wyrażenie p=ax+b: \frac{dp}{dx}=a\;\Rightarrow\; dx=\frac{1}{a}dp.
Zauważ, że tutaj użyłem wygodnej notacji Leibniza i traktuję pochodne jako wyrażenia wymierne. Dlaczego można tak robić? Wyjaśnia to teoria różniczek, której nie przywołam choćby dlatego, że jej nie znam :)

Powróćmy jednak do przykładu: \int \frac{\frac{1}{a}dp}{2\sqrt{p}}=\frac{1}{a}\int \frac{dp}{2\sqrt{p}}=\frac{1}{a}\sqrt{p}+\frac{C}{a}=\frac{1}{a}\(\sqrt{ax+b}+C\)

Stałą 1/a wyłączam przed znak całki, bo nie jest do niczego tam potrzebna. Tak samo mogłem zrobić a 1/2, ale ta jednak okazała się przydatna.

Mniej więcej do tego przydają się jeszcze pochodne. Ponadto ze wzoru na pochodną iloczynu wynika wzór na całkowanie przez części.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 13, 2008, 03:56:59 pm
Słyszałem też, że całka to pole powierzchni między wykresem funkcji a osią OX.

Czyli całkowanie to odwrotność różniczkowania?

Ok, przykład rozumiem.

Cytat: Kris
Ponadto ze wzoru na pochodną iloczynu wynika wzór na całkowanie przez części.


Tzn?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: lemon w Grudzień 13, 2008, 04:29:57 pm
Cytuj
Czyli całkowanie to odwrotność różniczkowania?


Tak. O ile się nie mylę to za pomoca całek można wyznaczyć funkcję majac jej pochodną
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Grudzień 13, 2008, 05:24:04 pm
Żeby nie było niejasności. Można od dwóch stron podchodzić do całek.

Całka nieoznaczona funkcji jest to funkcja pierwotna danej funkcji. Funkcja pierwotna jest to taka funkcja, która po zróżniczkowaniu daje wyjściową.

To, że procesy różniczkowania i całkowania (w sensie całki nieoznaczonej) są odwrotne, co wynika z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego.

Całkowanie (szukanie funkcji pierwotnej) daje nam continuum możliwości, bo otrzymujemy całą klasę funkcji.

Na przykład \int f(x)=x^5 dx=\frac{x^6}{6}+C gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Rzeczywiście to jest funkcja pierwotna bo (\frac{x^6}{6}+C)^\prime=\frac{6}{6}x^5+0=x^5

Z drugiej jednak strony mamy całkę oznaczoną.
Wówczas policzenie całki \int_0^1 f(x)=x^5 dx sprowadza się do wyznaczenia funkcji pierwotnej i skorzystaniu z twierdzenia Newtona-Leibniza, które mówi że taka całka jest równa F(1)-F(0)=\frac{1^6}{6}+C-\frac{0^6}{6}-C=\frac{1}{6}

Otrzymaliśmy pole obszaru ograniczonego prostymi x=0, x=1, y=0 oraz krzywą y=x^5

[ Dodano: 13 Grudzień 2008, 17:25 ]
Dla treningu możesz na przykład policzyć pole kwadratu o boku 2 ;)
Możesz go umieścić w układzie współrzędnych tak jak Ci wygodnie, bo pole pozostaje polem.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 13, 2008, 05:48:36 pm
Cytat: _Mithrandir
Tzn?


\[f(x)g(x)\]^\prim=f^\prim(x)g(x)+g^\prim(x)f(x)\;\Rightarrow \; f^\prim(x)g(x)=[f(x)g(x)]^\prim-g^\prim(x)f(x) \\ \int f^\prim(x)g(x)dx=\int [f(x)g(x)]^\prim dx-\int g^\prim(x)f(x)dx \\ \int f^\prim(x)g(x)=f(x)g(x)-\int g^\prim(x)f(x)dx
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 14, 2008, 12:37:40 am
Jeżeli jest symbol \int_a^b to jakie są założenia dla a i b? a<b?

Cytat: przem_as
Dla treningu możesz na przykład policzyć pole kwadratu o boku 2 ;)
Możesz go umieścić w układzie współrzędnych tak jak Ci wygodnie, bo pole pozostaje polem.


Tzn? Bo nie za bardzo wiem na podstawie jakiej funkcji mam to zrobić ;)

[ Dodano: 14 Grudzień 2008, 00:39 ]
Kris, a co znaczy określenie "całkowanie przez części"?
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 14, 2008, 10:03:39 am
To co napisałeś to całka oznaczona. Z tego co mi wiadomo, to nie ma żadnych ograniczeń dla a i b.

Do policzenia pola kwadratu możesz wziąć funkcję f(x)=a na przedziale [0,a]; wówczas

S=\int^{a}_{0}adx=a\int^{a}_{0}dx=a[x]^{a}_{0}\equiv a[a-0]=a^2

Całkowanie przez części to nazwa, która pewnie wzięła się stąd, że całkę rozbija się na iloczyn funkcji minus jakąś inną całkę, np,

 \int xe^{3x} dx = \left|\begin{array}{ccc}u=x&u^\prim=1\\v^\prim=e^{3x}&v=\frac{e^{3x}}{3} \\\end{array}\right|= x\frac{e^{3x}}{3}-\int\frac{e^{3x}}{3} dx = x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9}+C

to którą funkcję damy jako pochodną jakiejś funkcji ma na celu wygenerowanie łatwej do policzenia całki. Tutaj wywaliłem x kładąc v^\prim=e^{3x}. Wywaliłem w sensie w drugiej całce powinna występować pochodna x, bo w pierwszej występowała pochodna równa e^{3x}.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Grudzień 14, 2008, 11:36:44 am
Nie ma ograniczeń na a i b, bo

\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx


Tłumacząc rozwiązanie Krisa, wybierasz tak funkcję i obszar całkowania (a i b) aby obszar ograniczony prostymi x=a,x=b, y=f(x), y=0 był kwadratem. Jeśli ma to być pole kwadratu o boku 2 to bierzesz funkcję y=2, a=0,b=2 i już :)

Dalej tylko trzeba scałkować. Stałą można wyrzucić przed całkę, całka z jedynki po dx to x, później tylko podstawić w granicach.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 23, 2008, 07:57:35 pm
Co do ograniczeń - zapis, o którym wspomniałem, mówi - jak dobrze rozumiem - że jest to całka na przedziale [mam nadzieję, że dobrze to nazwałem] (a,b), a w takim razie musi chyba zachodzić nierówność a<b?

Na szczęście dorwałem już podręcznik z analizy (podstawy) z całkami, więc teraz będę pisał już tylko, jak coś będzie niejasne ;) Dzięki za pomoc :)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Grudzień 23, 2008, 08:33:55 pm
Cytat: _Mithrandir
Co do ograniczeń - zapis, o którym wspomniałem, mówi - jak dobrze rozumiem - że jest to całka na przedziale [mam nadzieję, że dobrze to nazwałem] (a,b), a w takim razie musi chyba zachodzić nierówność a<b?


Nie musi być tu relacji a<b :mrgreen: Możemy przy tym warunku rozpatrywać całkę \int_{b}^{a} f(x) dx i teraz tu jest nie spełnione, jednak z prawa które napisałem wyżej, wynika, że właściwie to nie ma znaczenia, bo wystarczy minus przed całką i zamieniamy a z b
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 23, 2008, 09:57:46 pm
Jak już masz ten podręcznik (ważne jaki), to być może napiszą coś o całce oznaczonej Riemanna. Jak poznasz tę definicję, to zobaczysz, że nie ma ograniczeń dla a i b.
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 25, 2008, 01:35:10 pm
Podręcznik mam "Analiza matematyczna dla licealistów", wyd. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro z roku 2002, autorzy: K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda. Jest tam taka definicja:

Cytuj
Niech funkcja f będzie całkowalna w przedziale I=<a, b> (a<b), natomiast F niech będzie jej dowolną funkcją pierwotną. Liczbę F(b)-F(a) nazywamy całką oznaczoną od a do b (albo na przedziale <a, b>) funkcji f i oznaczamy symbolem \int^b_a f(x) dx:

\int^b_a f(x) dx=F(b)-F(a).

Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania, a przedział <a, b> przedziałem całkowania.

Dodatkowo przyjmujemy, że:

1) \int^a_a f(x) dx=0 dla dowolnego a \in R,
2) jeśli b<a, to \int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x) dx.


I jednak w definicji widać to założenie, dlatego o nie pytam ;)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 25, 2008, 03:49:11 pm
Typowo licealna definicja. Mam akurat tę książkę i na szczęście nie korzystam.
No, ale jednak czegoś można się z tej książki nauczyć - obliczać proste całki np.. Bazujmy na tej definicji. Ja rozumiem ją tak:
1) Skoro jest przedział I=<a,b>, to wiadomo, że a<b. Nie widziałem jeszcze przedziału, np. <5,2>.
2) Jak pokazują dalsze podpunkty całka oznaczona jest zdefiniowana dla  a=b, a<b, a>b zatem przetłumaczyłbym tę definicję jako:
Cytuj
Niech funkcja f będzie określona  na przedziale I=[a,b], a funkcja F będzie jej dowolną funkcją pierwotną. Całką oznaczoną funkcji f na odcinku [a,b] nazywamy różnicę F(b)-F(b) i piszemy

\int^{b}_{a}f(x)dx=F(b)-F(a)


Zachodzą własności
 
1)\;\;\;\rm{-} \int^{a}_{b}f(x)dx=-(F(a)-F(b))\equiv F(b)-F(a)=\int^{b}_{a}f(x)dx

2)\;\;\; \int^{a}_{a}f(x)dx=F(a)-F(a)=0
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 26, 2008, 01:54:09 pm
Ok, to teraz już rozumiem, co z tym założeniem.

Mam jeszcze podręcznik "Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych 1" pod zbiorową redakcją Edwarda Otto, wyd. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, ale tutaj jest tylko całka nieoznaczona. Podręcznik mogę oczywiście zmienić, jeżeli masz jakąś lepszą propozycję ;)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: Kris w Grudzień 26, 2008, 05:56:05 pm
W zasadzie pojęcie całki Riemanna nie wydaje mi się jakość nadzwyczaj trudne i nie wiem czemu nie zamieścili tego w tej książce (choćby jako ciekawostki). Co do propozycji, to mi nawet przypasował pan R. Rudnicki a właściwie to jego "Wykłady z analizy matematycznej" (właściwie, to wygląda jak duży skrypt do wykładów - strasznie ścisły język i aparat matematyczny), ale polecałbym Ci "Rachunek różniczkowy i całkowy" Fichtenholz G.M, całki są w drugim tomie, którego nie mam, ale sądzę, że powinieneś tam znaleźć szczegółowe omówienie całek. Poza tym cała seria tych książek zawiera w sobie (przynajmniej pierwszy tom, który mam) o analizie wszystko i jeszcze więcej. Co prawda możesz się przerazić, że nic nie rozumiesz, bo wszystkiego jest za dużo, ale to chyba normalne. Z czasem wszystko stanie się proste. Jak to mówił mój nauczyciel z fizyki: "Teraz nauczcie się tego. Zrozumienie przyjdzie z czasem". Działa.

Ja od początku zaczynałem z "Matematyka wyższa dla początkujących. Zastosowania w fizyce" Zeldowicz. Nie wiem czy gdzieś to dostaniesz, ale chyba nie ma już potrzeby. Skoro wiesz czym jest pochodna. Poza tym ta książka również nieraz odbiega od zbytniego formalizmu.

A co do podręcznika z OF, to chyba jest to jedyny podręcznik, który mówi o analizie na poziomie liceum. Nie mam tu pretensji do autorów, że tak pobieżnie wszystko omówili, bo streszczali się jak mogli, żeby nie napisać biblii. To kolejna głupota programu nauczania, że mamy mieć jest analizę od granic do całek. Lepiej chyba poprzestać na granicy i prostych zastosowaniach pochodnej, bo wtedy można coś dokładniej omówić. A tak, w programie są całki, więc trzeba je maksymalnie uprościć, żeby nie zajęły zbyt dużo czasu. Stąd te niektóre dziwne definicje.
Już mi lepiej :)
Tytuł: Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Grudzień 27, 2008, 01:18:45 pm
Ok, to myślę, że najpierw zapoznam się z tym, co jest w podręczniku z OE, a potem wyszperam coś z tego, o czym pisałeś, w bibliotece, może i w ten sposób będzie dłużej, ale czas mnie nie goni ;) Dzięki.