Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Dyskusje => Wątek zaczęty przez: _Mithrandir w Kwiecień 08, 2009, 11:56:28 pm

Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Kwiecień 08, 2009, 11:56:28 pm
http://www.sciaga.pl/prace/getattach.html?aid=11434 - korzystając z tego planuję załapać liczenie ekstremów funkcji dwóch zmiennych. Niby wszystko jasne, ale w pewnych miejscach mam wątpliwości.

1) Na pierwszej stronie, warunek dostateczny, podpunkt 3. Co oznaczają zapisy  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0),  \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0),  \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}(x_0, y_0) i  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)? Oznacza to, że np. w drugim przypadku najpierw mam policzyć pochodną z f(x,y) po x, a potem pochodną tej pochodnej po y? \partial służy po prostu do oznaczania pochodnych?

2) Na stronie 2, przykład 1, pierwszy obrazek. Rozwiązywany jest układ równań, ale ja tam nie widzę równań, tylko wyrażenia (od pochodnych): 4x+3y-2 i 3x+2y-1. Nie jestem pewien, czy dobrze się domyślam, ale one mają być równe 0?

Ogólnie to sprawa wygląda na prostą - faktycznie taka jest? Czy są jakieś trudności w określaniu ekstremów funkcji dwóch zmiennych?
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Kwiecień 09, 2009, 11:01:20 am
1) Tak, symbol \frac{\partial f}{\partial x} oznacza pochodną cząstkową funkcji f po zmiennej x,
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} oznacza pochodną 2-go rzędu funkcji braną dwa razy po zmiennej x, czyli \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f}{\partial x}\)
Jeśli dopiszemy do powyższych oznaczeń (x_0,y_0) to liczymy dokładną wartość pochodnej w punkcie (x_0,y_0), analogicznie jak dla pochodnych funkcji 1 zmiennej.

2) Tak, oczywiście te równania mają być równe 0.

Zauważ, że w tym sformułowaniu warunku dostatecznego istnienia ekstremów, nie mówi się nic o przypadku, gdy wyznacznik jest mniejszy lub równy 0.
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Kwiecień 09, 2009, 11:15:44 am
Czekałem na to od rana :D Dzięki ;)

Cytat: przem_as
Zauważ, że w tym sformułowaniu warunku dostatecznego istnienia ekstremów, nie mówi się nic o przypadku, gdy wyznacznik jest mniejszy lub równy 0.


A powinno się mówić coś oprócz tego, że wtedy ekstremum nie istnieje?
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Kwiecień 09, 2009, 11:21:19 am
Jest tak, że to twierdzenie nazywane warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum działa jak kryterium.
Jeśli wyznacznik >0 to mamy ekstremum i wzorki na nie,
Jeśli wyznacznik <0 to nie ma ekstremum,
Jeśli wyznacznik =0 to kryterium nie rozstrzyga, to znaczy musimy sobie radzić jakoś inaczej, co pewnie Cię teraz nie musi za bardzo obchodzić ;)
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Kwiecień 09, 2009, 11:26:14 am
Cytat: przem_as
co pewnie Cię teraz nie musi za bardzo obchodzić ;)


Czemu? ;)
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Kwiecień 09, 2009, 11:36:14 am
Bo musiałbyś dorobić do dalszych poszukiwać spory kawałek teorii, która może Cię zniechęcić. To nie wygląda już tak przystępnie jak ten tekst, z którego się uczyłeś. Tam praktycznie nic nie trzeba umieć.
Przy f-cjach dwóch zmiennych musiałbyś trochę poczytać o zbieżnościach, o pochodnych kierunkowych, co to jest w ogóle pochodna (mocna), bo to już nie jest współczynnik kierunkowy stycznej..
Wchodzą po prostu spore uogólnienia.
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Kwiecień 09, 2009, 11:51:33 am
A znajdę to wszystko w tamtych podręcznikach? Jeżeli tekst i teoria będą hermetyczne, to będę sobie dłubał powoli przez wakacje i może coś z tego wyjdzie, ew. będę pisał na forum jak coś będzie niejasne.
Tytuł: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Wiadomość wysłana przez: przem_as w Kwiecień 09, 2009, 11:53:43 am
Myślę, że powinno być wszystko porządnie wprowadzone u Gewerta i Skoczylasa, wiec to chyba bym polecił.