Naukowy.pl

Ścisłe => Fizyka => Dyskusje => Wątek zaczęty przez: Kris w Październik 25, 2009, 09:52:58 am

Tytuł: Równia pochyła. Czy każdy sposób jest dobry?
Wiadomość wysłana przez: Kris w Październik 25, 2009, 09:52:58 am
Mamy takie zadanko:
Cytuj
Ciało zsuwa się z równi pochyłej o długości podstawy L=2m i kącie nachylenia \alpha=30^{\circ}. Oblicz prędkość tego ciała przy podstawie równi,
zaniedbując opory ruchu. Przyspieszenie ziemskie wynosi g=9,81ms^{-2}.


Jest kilka sposobów na to zadanie, ale nie każdy jest dobry. Podpowiem, że jest to zadanie omawiane przy okazji zasad zachowania energii. Jestem ciekaw jak byście rozwiązali to zadanie, bo ja dałem się złapać w energetyczną pułapkę.
Tytuł: Równia pochyła. Czy każdy sposób jest dobry?
Wiadomość wysłana przez: _Mithrandir w Październik 25, 2009, 11:05:07 am
Zakładam, że ciało zsuwa się ze szczytu równi bez prędkości początkowej. Tam ma pewną początkową energię potencjalną E_p=mgh (zakładając, że jest w polu jednorodnym) na wysokości h=L \cdot \sin \alpha. Energia ta podczas ruchu zamienia się na energię kinetyczną (powiedzmy, że końcową) E_k i pracę związaną z oporami ruchu W_R, czyli E_p=W_R + E_k (z zasady zachowania energii). Zaniedbujemy opory, więc W_R=0, a stąd E_p=E_k. Na końcu ciało uzyskuje szybkość  v. Mamy więc: mgh=\frac{mv^2}{2} (przy m \not = 0), a stąd v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2gL\sin \alpha. To tak na szybkiego. I gdzie jest haczyk?
Tytuł: Równia pochyła. Czy każdy sposób jest dobry?
Wiadomość wysłana przez: Kris w Październik 25, 2009, 11:23:37 am
Cytat: _Mithrandir
E_p=W_R + E_k (z zasady zachowania energii)

Tutaj. problem w tym, że nie możemy skorzystać z zasady zachowania energii mechanicznej, bo na ciało działa siła ciężkości (zachowawcza) i siła reakcji od podłoża (niezachowawcza). A zatem da się określić energię potencjalną tylko dla jednej z tych sił. Tym samym nie możemy dla takiej sytuacji zdefiniować wielkości o charakterze energii, która byłaby zachowana. Potrzeba bardziej ogólnego związku niż zasada zachowania energii mechanicznej.

Wzór, który podałeś jest dobry, ale nie nie jest to zasada zachowania energii. Na razie nie odpowiem, może ktoś będzie znał odpowiedź.
Tytuł: Równia pochyła. Czy każdy sposób jest dobry?
Wiadomość wysłana przez: Cyzio w Październik 25, 2009, 12:04:37 pm
Witam

W zadaniu jest powiedziane, że zaniedbujemy opory ruchu, tak więc wydaje mi się, że zasada zachowania energii mechanicznej może być tu zastosowana. Poza tym, siła pochodząca od reakcji podłoża z definicji nie wykonuje pracy, gdyż jest prostopadła do przemieszczenia ciała. Chyba, że się mylę.

Oczywiście zawsze można zastosować zasadę zachowania energii całkowitej, z tym że widzę tu pewien problem określenia odpowiednich zależności w przypadku występowania oporów ruchu (należałoby opisać matematycznie wpływ ruchu ciała na ogrzanie powietrza, równi, zniekształcenia obu ciał pod wpływem tarcia, itp....

Pozdrawiam

Cyzio
Tytuł: Równia pochyła. Czy każdy sposób jest dobry?
Wiadomość wysłana przez: Kris w Październik 25, 2009, 04:13:23 pm
Zostańmy w mechanice klasycznej i zajmijmy się energię mechaniczną. Sam zauważyłeś, że nie potrafimy określać matematycznie pozostałych form energii.
Zasada zachowania energii wygląda następująco:

Jeśli na ciało działa n sił \vec F_i (i=1,2,3,...,n), które są zachowawcze i z każdą z nich związana jest energia potencjalna E^{\text{pot}}(\vec r), to całkowita energia mechaniczna, zdefiniowana jako
E\,:= E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}=E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}_{1}(\vec r)+\cdots +E^{\text{pot}}_n(\vec r)
nie zależy od czasu.[/i]

Zasadę tę można wyprowadzić tylko w przypadku sił, dla których można określić energię potencjalną. Jeśli nie można tego zrobić (tzn. na ciało działają siły, z których pewna ilość, dajmy m, jest zachowawczych, a pozostałe są niezachowawcze), to można otrzymać inny związek, który niesłusznie wiąże się z zasadą zachowania energii. A oto związek:

\Delta[E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}_1(\vec r)+\cdots +E^{\text{pot}}_m(\vec r)]=W^{\text{nzach}}_{m+1}+\cdots +W^{\text{nzach}}_{n}

który wynika z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej, nie z zasady zachowania.

Założyłem temat żeby podkreślić, że w mechanice klasycznej, na dobrą sprawę, twierdzenie o pracy i energii kinetycznej odgrywa ważniejszą rolę niż sama zasada zachowania.