Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Wrzesień 04, 2008, 04:13:30 pm

Tytuł: [Funkcje] Przebieg zmienno?ci funkcji
Wiadomość wysłana przez: lemon w Wrzesień 04, 2008, 04:13:30 pm
FUNKCJA LINIOWA
[/b][/size]
Wzór: y=ax+b
Dziedzina: x \in R
Przebieg zmienno?ci:
 - brak ekstremów
 - funkcja zawsze rosn?ca, je?li a > 0
 - funkcja zawsze malej?ca, je?li a < 0
 - funkcja sta?a, je??i a = 0





FUNKCJA KWADRATOWA
[/b][/size]
Wzór: y=ax^2+bx + c \qquad \small\text{(a \not= 0)}
Dziedzina: x \in R
Przebieg zmienno?ci:
 - ekstremum w punkcie \fs1 (-\frac{b}{2a}; -\frac{b^2-4ac}{4a}), jest to maksimum dla a<0, minimum dla a>0
 - je?li a > 0, to funkcja jest malej?ca dla \fs1 x \in (- \infty; -\frac{b}{2a}) i rosn?ca dla \fs1 x \in (-\frac{b}{2a}; \infty)
 - je?li a < 0, to funkcja jest rosn?ca dla \fs1 x \in (- \infty ; \frac{b}{2a}) i malej?ca dla \fs1 x \in (-\frac{b}{2a}; \infty)




HIPERBOLA
[/b][/size]
Wzór: y=\frac{a}{x} Je?li a=0, to funkcja degeneruje si? do osi OX bez punktu  (0,0)
Dziedzina: x \in (-\infty;0)\cup(0; \infty)
Przeciwdziedzina: y \in (-\infty;0)\cup(0; \infty)
Przebieg zmienno?ci:
\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x)=0
 - brak ekstremów
 - je?li a>0, to funkcja jest malej?ca w ca?ej dziedzinie
 - je?li a<0, to funkcja jest rosn?ca w ca?ej dziedzinie
 - osie OX i OY s? asymptotami hiperboli
Posta? równania hiperboli jako krzywej sto?kowej: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1


FUNKCJA HOMOGRAFICZNA
[/b][/size]
Wzór: y=\frac{ax+b}{cx+d} \qquad \fs2 \text{Warunek: } a\not=0 \qquad \text{(W=ad -bc)}
Przypadek szczególny: \red \tiny c=0, \quad \text{ale} \quad d\not=0, to funkcja degeneruje si? do prostej.
Dziedzina: x \in R-\{\frac{-d}{c}}
Przeciwdziedzina: y \in R-\{\frac{a}{c}}
Przebieg zmienno?ci:
\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{a}{c}
 - asymptota pozioma y=\frac{a}{c}, asymptota pionowa x = -\frac{d}{c}
 - brak ekstremów
 - je?li W>0, to funkcja jest zawsze rosn?ca
 - je?li W>0, to funkcja jest zawsze malej?ca


FUNKCJA WYK?ADNICZA
[/b][/size]
Wzór: y=a^x \qquad \fs2 \text{Warunek: } a>0 \qquad \text{(W=ad -bc)}
Przypadek szczególny: je?li a=1 to funkcja degeneruje si? do prostej y=1
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in R_+
Przebieg zmienno?ci:
 - o? OX jest asymptot? poziom?
 - brak ekstremów i miejsc zerowych
 - je?li a>1, to funkcja jest zawsze rosn?ca i \fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty
 - je?li a<0, to funkcja jest zawsze malej?ca i \fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) =\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=0



FUNKCJA \fs5 y=\sqrt{x}
[/b][/size]
Wzór: y=\sqrt{x}
Dziedzina: x \in R_+ \cup \{0}
Przebieg zmienno?ci:
\fs1 \lim_{x\to\infty}f(x) = \infty
 - brak asymptot
 - najmniejsza warto?? (y=0) dla x=0
 - funkcja jest rosn?ca w ca?ej dziedzinie
Uwaga: inn? funkcj? otrzymuje si? wybieraj?c ujemny znak pierwiastka, \fs2 y=-\sqrt{x}




FUNKCJA LOGARYTMICZNA
[/b][/size]
Wzór: y=\log_ax  \qquad \fs2 \text{Warunek: } a>0, \quad a\not=1
Dziedzina: x \in R_+
Przeciwdziedzina: y \in R
Przebieg zmienno?ci:
\fs1 \lim_{x\to\infty}f(x) = \infty
 - brak ekstremów
 - o? OY jest asymptot? pionow?
 - je?li a>0, to funkcja jest zawsze rosn?ca, \fs1 \lim_{x\to0}f(x) =-\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty
 - je?li a<0, to funkcja jest zawsze malej?ca, \fs1 \lim_{x\to0}f(x) =\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty



FUNKCJA SINUS
[/b][/size]
Wzór: y=\sin x
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in \text{<-1 ; 1>}
Przebieg zmienno?ci:
 - brak asymptot
 - granice dla x\to-\infty oraz x\to\infty nieokre?lone
 - maksima dla \fs2 x=\frac{\pi}{2}+2k\pi
 - minima dla \fs2 x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi
 - miejsca zerowe x=k\pi
 - funkcja jest rosn?ca dla \fs2 x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi ; \frac{\pi}{2}+2k\pi)
 - funkcja jest malej?ca dla \fs2 x \in (\frac{\pi}{2}+2k\pi ; \frac32 \pi + 2k\pi)


FUNKCJA COSINUS
[/b][/size]
Wzór: y=\cos x
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in \text{<-1 ; 1>}
Przebieg zmienno?ci:
 - brak asymptot
 - granice dla x\to-\infty oraz x\to\infty nieokre?lone
 - maksima dla \fs2 x=2k\pi
 - minima dla \fs2 x=(2k+1)\pi
 - miejsca zerowe \fs2 x=\frac{\pi}{2}+k\pi
 - funkcja jest rosn?ca dla \fs2 x \in ( (2k-1)\pi ; 2k\pi)[/tex]
 - funkcja jest malej?ca dla \fs2 x \in (2k\pi ; (2k+1)\pi)


FUNKCJA TANGENS
[/b][/size]
Wzór: y=\text{tg} x
Dziedzina: x \in R-\{x: x=\frac{\pi}{2}+k\pi ; x \in C}
Przeciwdziedzina: y \in R
Przebieg zmienno?ci:
 - asymptoty pionowe x=\frac{\pi}{2}+k\pi
 - granice dla x\to-\infty oraz x\to\infty nieokre?lone
 - brak ekstremów
 - miejsca zerowe x=k\pi
 - funkcja ro?nie dla wszystkich x, nale??cych do dziedziny


FUNKCJA ARCUS TANGENS
[/b][/size]
Wzór: y=\text{arc tg} x
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})
Przebieg zmienno?ci:
 \fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) =-\frac{\pi}{2} \qquad \lim_{x\to\infty}f(x) =\frac{\pi}{2}
 - asymptoty poziome \rs2 y=\pm\frac{\pi}{2}
 - brak ekstremów
 - miejsce zerowe \rs2 x=0
 - funkcja ro?nie dla wsystkich x




FUNKCJA ZNAKOWA
[/b][/size]
Wzór: y=\text{sgn} x \qquad\qquad \fs2 y= \left\{\begin{array}{ccc} -1 \quad \text{dla} \quad x<0 \\ 0 \quad \text{dla} \quad  x=0 \\ 1 \quad \text{dla} \quad x>0\end{array}\right
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in \{-1;0;1}
Przebieg zmienno?ci:
 - funkcja nieci?g?a dla x=0






FUNKCJA "WARTO?? BEZWZGL?DNA"
[/b][/size]
Wzór: y=|x| \qquad\qquad \fs2 y= \left\{\begin{array}{cc} -x \quad \text{dla} \quad x<0 \\ x \quad \text{dla} \quad  x\geq 0\end{array}\right
Dziedzina: x \in R
Przeciwdziedzina: y \in R_+\cup \{0}
Przebieg zmienno?ci:
 - pierwsza pochodna nieci?g?a dla x=0