Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Czerwiec 18, 2008, 07:44:40 pm

Tytuł: [F.liniowa] Równania z parametrem
Wiadomość wysłana przez: lemon w Czerwiec 18, 2008, 07:44:40 pm
RÓWNANIA Z PARAMETREM


Nie przez przypadek równania z parametrem znajdują się tylko i wyłącznie na poziomie rozszerzonym. Rozwiązanie takiego układu polega na sprawdzeniu dla jakiego parametru, ukłąd jest oznaczony, nieoznaczony bądź sprzeczny.

Opiszę dwa sposoby rozwiązywania takich układów (oczwyiście takich sposobów jest więcej ale myślę, że tylko te dwa są godne dokładnego omówienia).

1. Metoda podstawiania
\left\{\begin{array}{cc}mx+y=1 \\x-y=m \end{array}\right
Za pomocą podstawiania wyznaczamy x lub y. Proponuję wyznaczyć to, z czym będziemy mieli mniej problemów. Nie ma to jednak wpływu na ostateczny wynik.
x=m+y
Następnie musimy stworzyć równanie, w którym po jednej stronie będzie tylko i wyłącznie iloczyn dwóch zmiennych. Natomiast za x, podstawiamy to, co wyznaczyliśmy wcześniej.
m(m+y) + y = 1
m^2 + my + y = 1
my+y=1-m^2
y(m+1)=1-m^2

1) Następnie sprawdzamy, jaki będzie układ równań, gdy x będzie równe 0:
x=m+1=0
m=-1
y \cdot 0 = 1 - (-1)^2
0=1-1
0=0 UKŁAD NIEOZNACZONY

2) Sprawdzamy, jaki będzie układ dla x≠0:
m+1 \not= 0
m \not= -1 UKŁAD OZNACZONY
Gdy mamy ukłąd oznaczony, musimy podać wartość x i y.
y(m+1) = 1-m^2 / :(m+1)
y=\frac{1-m^2}{m+1}=\frac{(1+m)(1-m)}{(1+m)}=1-m
x=m+\frac{1-m^2}{m+1}=\frac{m^2 + m+1-m^2}{m+1}=1

3) Sprawdzenie w tym przypadku, kiedy układ jest sprzeczny nie ma racji bytu, dlatego też po prostu zapiszemy:
Układ sprzeczny dla m \in \empty.

Odpowiedź:
1) Układ jest oznaczony dla m\not=-1:
\left\{\begin{array}{cc}y=1-m \\x=1 \end{array}\right
2) Układ jest nieoznaczony dla m=-1
3) Układ jest sprzeczny dla m \in \empty


2. Metoda wyznaczników
\left\{\begin{array}{cc}x+my=3 \\mx+4y=6 \end{array}\right
Zadanie zaczniemy od obliczenia wszystkich wyznaczników tego układu

W=\begin{bmatrix}1 & m \\ m & 4    \end{bmatrix}= 4-m^2

W_x=\begin{bmatrix}3 & m \\ 6 & 4    \end{bmatrix}= 12-6m

W_y=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ m & 6    \end{bmatrix}= 6-3m

1) Układ oznaczony (będzie gdy wyznacznik główny będzie różny od zera):
W \not= 0 \Leftrightarrow 4-m^2\not= 0
(2-m)(2+m)\not=0
m\not=2 \wedge m\not= -2

Dla m \in R\ {-2,2} układ posiada jedno rozwiązanie:
x=\frac{W_x}{W}=\frac{12-6m}{4-m^2}=\frac{6(2-m)}{92-m)(2+m)}=\frac{6}{2+m}
y=\frac{W_y}{W}=\frac{6-3m}{4-m^2}=\frac{3(2-m)}{(2-m)(2+m)}=\frac{3}{2+m}

2) Układ nieoznaczony (będzie, gdy wszystkie wyznaczniki będą równe zero):
(W=0 \wedge W_x=0 \wedge W_y=0) \Leftrightarrow (4-m^2=0 \wedge 12-6m=0 \wedge 6=3m=0)
(2-m)(2+m)=0 \wedge 6(2-m)=0 \wedge 3(2-m)=0
(m=0 \vee m=-2) \wedge m=2 \wedge m=-2
Zatem rozwiązaniem tych warunków jest m=2.

3) Układ sprzeczny (będzie gdy wyznacznik główny będzie równy zero, a chociaż jeden z pozostałych wyznaczników musi byc różny od zera):
(W=0 \wedge (W_x \not=0 \vee W_y \not= 0)) \Leftrightarrow (4-m^2=0 \wedge (12-6m \not= 0 \vee 6=3m\not=0))
(m=2 \vee m=-2) \wedge (m\not= 2 \vee m\not= -2)
(m=2 \vee m=-2) \wedge m\not=2
Jak widać tylko m=-2 spełnia te warunki.
Dla m=-2 otrzymujemy: W=0, \quad W_x=24, \quad W_y=12, zatem układ jest sprzeczny.

Odpowiedź:
1) Układ oznaczony dla m \in R\ {-2;2}:
\left\{\begin{array}{cc}x=\frac{6}{2+m} \\y=\frac{3}{m+2} \end{array}\right
2) Układ nieoznaczony dla m=2
3) Układ sprzeczny dla m=-2

Jak widać rozwiązywanie układów z parametrem nie należny do łatwych i oczywistych. Jednak po kilku\kilkunastu rozwiązanych przykładach nie powinny one nastręczać większych trudności.