Autor Wątek: [F.liniowa] Równania z parametrem (Przeczytany 4569 razy)

lemon · « **dnia:** Czerwiec 18, 2008, 07:44:40 pm »

RÓWNANIA Z PARAMETREM

Nie przez przypadek równania z parametrem znajdują się tylko i wyłącznie na poziomie rozszerzonym. Rozwiązanie takiego układu polega na sprawdzeniu dla jakiego parametru, ukłąd jest oznaczony, nieoznaczony bądź sprzeczny.

Opiszę dwa sposoby rozwiązywania takich układów (oczwyiście takich sposobów jest więcej ale myślę, że tylko te dwa są godne dokładnego omówienia).

1. Metoda podstawiania
$\left\{\begin{array}{cc}mx+y=1 \\x-y=m \end{array}\right$
Za pomocą podstawiania wyznaczamy x lub y. Proponuję wyznaczyć to, z czym będziemy mieli mniej problemów. Nie ma to jednak wpływu na ostateczny wynik.
$x=m+y$
Następnie musimy stworzyć równanie, w którym po jednej stronie będzie tylko i wyłącznie iloczyn dwóch zmiennych. Natomiast za x, podstawiamy to, co wyznaczyliśmy wcześniej.
$m(m+y) + y = 1$
$m^2 + my + y = 1$
$my+y=1-m^2$
$y(m+1)=1-m^2$

1) Następnie sprawdzamy, jaki będzie układ równań, gdy x będzie równe 0:
$x=m+1=0$
$m=-1$
$y \cdot 0 = 1 - (-1)^2$
$0=1-1$
$0=0$ UKŁAD NIEOZNACZONY

2) Sprawdzamy, jaki będzie układ dla x≠0:
$m+1 \not= 0$
$m \not= -1$ UKŁAD OZNACZONY
Gdy mamy ukłąd oznaczony, musimy podać wartość x i y.
$y(m+1) = 1-m^2 / :(m+1)$
$y=\frac{1-m^2}{m+1}=\frac{(1+m)(1-m)}{(1+m)}=1-m$
$x=m+\frac{1-m^2}{m+1}=\frac{m^2 + m+1-m^2}{m+1}=1$

3) Sprawdzenie w tym przypadku, kiedy układ jest sprzeczny nie ma racji bytu, dlatego też po prostu zapiszemy:
Układ sprzeczny dla $m \in \empty$ .

Odpowiedź:
1) Układ jest oznaczony dla $m\not=-1$ :
$\left\{\begin{array}{cc}y=1-m \\x=1 \end{array}\right$
2) Układ jest nieoznaczony dla $m=-1$
3) Układ jest sprzeczny dla $m \in \empty$

2. Metoda wyznaczników
$\left\{\begin{array}{cc}x+my=3 \\mx+4y=6 \end{array}\right$
Zadanie zaczniemy od obliczenia wszystkich wyznaczników tego układu

$W=\begin{bmatrix}1 & m \\ m & 4 \end{bmatrix}= 4-m^2$

$W_x=\begin{bmatrix}3 & m \\ 6 & 4 \end{bmatrix}= 12-6m$

$W_y=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ m & 6 \end{bmatrix}= 6-3m$

1) Układ oznaczony (będzie gdy wyznacznik główny będzie różny od zera):
$W \not= 0 \Leftrightarrow 4-m^2\not= 0$
$(2-m)(2+m)\not=0$
$m\not=2 \wedge m\not= -2$

Dla $m \in R$ \ {-2,2} układ posiada jedno rozwiązanie:
$x=\frac{W_x}{W}=\frac{12-6m}{4-m^2}=\frac{6(2-m)}{92-m)(2+m)}=\frac{6}{2+m}$
$y=\frac{W_y}{W}=\frac{6-3m}{4-m^2}=\frac{3(2-m)}{(2-m)(2+m)}=\frac{3}{2+m}$

2) Układ nieoznaczony (będzie, gdy wszystkie wyznaczniki będą równe zero):
$(W=0 \wedge W_x=0 \wedge W_y=0) \Leftrightarrow (4-m^2=0 \wedge 12-6m=0 \wedge 6=3m=0)$
$(2-m)(2+m)=0 \wedge 6(2-m)=0 \wedge 3(2-m)=0$
$(m=0 \vee m=-2) \wedge m=2 \wedge m=-2$
Zatem rozwiązaniem tych warunków jest m=2.

3) Układ sprzeczny (będzie gdy wyznacznik główny będzie równy zero, a chociaż jeden z pozostałych wyznaczników musi byc różny od zera):
$(W=0 \wedge (W_x \not=0 \vee W_y \not= 0)) \Leftrightarrow (4-m^2=0 \wedge (12-6m \not= 0 \vee 6=3m\not=0))$
$(m=2 \vee m=-2) \wedge (m\not= 2 \vee m\not= -2)$
$(m=2 \vee m=-2) \wedge m\not=2$
Jak widać tylko m=-2 spełnia te warunki.
Dla m=-2 otrzymujemy: $W=0, \quad W_x=24, \quad W_y=12,$ zatem układ jest sprzeczny.

Odpowiedź:
1) Układ oznaczony dla $m \in R$ \ {-2;2}:
$\left\{\begin{array}{cc}x=\frac{6}{2+m} \\y=\frac{3}{m+2} \end{array}\right$
2) Układ nieoznaczony dla m=2
3) Układ sprzeczny dla m=-2

Jak widać rozwiązywanie układów z parametrem nie należny do łatwych i oczywistych. Jednak po kilku\kilkunastu rozwiązanych przykładach nie powinny one nastręczać większych trudności.

Ułóż równania reakjcji otrzymywania węglanu potasu z następujących substancji: potas, tlen , węgiel, woda. Zaczęty przez klaudia1380Dział Zadania	Odpowiedzi: 1 Wyświetleń: 3299	Kwiecień 06, 2010, 07:51:11 pm wysłana przez Kris
Bilansowanie równania reakcji, poch?anianie produktów spalania ca?kowitego w?glowodorów. Zaczęty przez enisalaDział Zadania	Odpowiedzi: 1 Wyświetleń: 3284	Styczeń 03, 2008, 11:31:31 pm wysłana przez wymiennik
forma czasteczkowa,jonowa i skrocona rownania reakcji w roztworach wodnych Zaczęty przez anetqaa1Dział Zadania	Odpowiedzi: 10 Wyświetleń: 6749	Grudzień 26, 2008, 12:55:41 pm wysłana przez olunia1993

Aktualności

Podobne tematy (3)

Autor Wątek: [F.liniowa] Równania z parametrem (Przeczytany 4569 razy)

lemon

[F.liniowa] Równania z parametrem