Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Maj 18, 2008, 01:49:50 pm

Tytuł: [F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności
Wiadomość wysłana przez: lemon w Maj 18, 2008, 01:49:50 pm
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ KWADRATOWYCH
[/b][/size]

Rozwiązanie równania kwadratowego polega na obliczeniu miejsc zerowych funkcji. Jeśli więc mamy funkcję \fs2 y=ax^2+bx+c to ów miejsca zerowe możemy obliczyć podstawiając uprzednio 0 zamiast y.

Wzory:
\fs2  \blue \Delta = b^2 - 4ac
\fs2  \blue x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}
\fs2  \blue x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}

Dowód:\fs2 \red ax^2 + bx+c=a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}
\fs2 \red ax^2 + bx+c=0 \quad \Leftrightarrow \quad a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}=0
\fs2 \red a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a}


Jeśli\fs2 \blue \Delta < 0 to powyższe równanie jest sprzeczne
Jeśli \fs2 \blue \Delta = 0 to \fs2 \blue (x + \frac{b}{2a})^2 = 0
(skąd \fs2 \blue x_0 = \frac{-b}{2a}. Zapamiętaj: pierwiastek \fs2 \blue x_0 nazywamy pierwiastkiem podwójnym).
Jeśli \fs2 \blue  \Delta > 0 to \fs2 \blue x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \fs2 \blue x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}




Przykład 1:\fs2  y=-3x^2 + 5x + 9

\fs2  0 = -3x^2 + 5x + 9   ← przyrównujemy do 0

a=-3 b=5 c=9   ← wypisujemy wszystkie współczynniki (nieobowiązkowe aczkolwiek zalecane)

\fs2  \Delta = 5^2 - 4\cdot(-3)\cdot9 = 25 + 108 = 133   ← liczymy deltę

\fs2  \sqrt{\Delta} = \sqrt{133}   ← liczymy pierwiastek z delty

\fs2  x_1= \frac{-5- \sqrt{133}}{-6} = \frac{5 + \sqrt{133}}{6}  ← podstawiamy do wzoru na pierwiastek

\fs2 x_1= \frac{-5+ \sqrt{133}}{-6} = \frac{5 - \sqrt{133}}{6}  ← podstawiamy do wzoru na pierwiastek

Odpowiedź: rozwiązaniem funkcji jest \fs2 \frac{5 + \sqrt{133}}{6} oraz \fs2 \frac{5 - \sqrt{133}}{6}


Proste nieprawdaż? Pewno dlatego, że przykład był stosunkowo łatwy ale też samo rozwiązywanie takich zwykłych równań nie kryje w sobie niczego nadzwyczajnego. Ważne żeby wiedziec jak sie do tego zabrać.


Przejdźmy do czysto teoretycznego zagadnienia analizując równanie kwadratowe \fs2 ax^2 + bx + c = 0 (gdzie a ≠ 0)

Jeśli \fs2 \Delta > 0 to równanie ma dwa pierwiastki (rozwiązania): \fs2 x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} oraz \fs2 x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}

Jeśli \Delta = 0 to równanie ma jeden pierwiastek (podwójny): \fs2 x_0 = \frac{-b- \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b+ \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}

Jeśli \Delta < 0 to równanie nie ma pierwiastków (pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje)



NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE
[/b][/size]

Nierówności kwadratowe są bardzo zbliżone pod względem obliczeń do równań kwadratowych. Jednak w przeciwieństwie do równań, rozwiązywanie nierówności polega na wyznaczeniu zbioru tych wartości x, dla których nierówność jest spełniona.

Przejdźmy do przykładów:

Przykład 1:\fs2 x^2 - x - 6 \geq 0

\fs2 x^2 - x - 6 = 0   ← przyrównujemy do 0

\fs2 \Delta = 1 - 4\cdot 1\cdot (-6) = 25

\fs2 \sqrt{\Delta} = 5

\fs2 x_1= \frac{1- 5}{2}=-2

\fs2 x_2= \frac{1+ 5}{2}=3

(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=170)
Odpowiedź: \fs2 x \in (-\infty ; -2> \cup <3 ; \infty)



Przykład 2:\fs2 \sqrt{6}x^2 + \sqrt{3}x > 0

\fs2 \sqrt{6}x^2 + \sqrt{3}x = 0

\fs2 \Delta = (\sqrt{3})^2 = 3

\fs2 \sqrt{\Delta} = \sqrt{3}

\fs2 x_1= \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{6}}= -\frac{\sqrt{2}}{2}

\fs2 x_2= \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2\sqrt{6}}= 0

(http://forum.servis.pl/album_pic.php?pic_id=171)
Odpowiedź:  \fs2 x \in (-\infty ; -\frac{\sqrt{2}}{2}> \cup <0 ; \infty)



Przykład 3:\fs2 5x^2 - 3x + 2 < 0

\fs2 5x^2 - 3x + 2 = 0

\fs2 \Delta = 9 - 4\cdot 5\cdot 2 = -31

Ponieważ \fs2 \Delta < 0 tzn. brak miejsc zerowych.

(a>o oraz c>0) - z tego wynika, iż parabola znajduje się ponad osią OX, a to oznacza, że nierówność jest sprzeczna.
Odpowiedź: \fs2 x \in \empty





RÓWNANIA SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ KWADRATOWYCH
[/b][/size]

Równania tego typu obowiązują jedynie na poziomie rozszerzonym. Pomimo tego każdy, kto potrafi rozwiązywać równania kwadratowe nie powinien mieć z nimi problemów.


Przykład 1:\fs2 y=2x^4 + 3x^2 - 5

\fs2 0=2x^4 + 3x^2 - 5

Tworzymy zmienną pomocniczą t (\fs2 t = x^2)

\fs2 0 = 2t^2 + 3t - 5

\fs2  \Delta = 9 + 40 = 49

\fs2 \sqrt{\Delta} = 7

\fs2 t_1= \frac{-3 - 7}{4}= -2,5

\fs2 t_2= \frac{-3 + 7}{4}= 1

\fs2 \sqrt{-2,5} SPRZECZNOŚĆ!

\fs2 \sqrt{1} = |1|

Odpowiedź: x=1 V x=-1



Przykład 2:\fs2 x - 3\sqrt{x} + 2 = 0

warunek: x ≥ 0

\fs2 t=\sqrt{x} (t ≥ 0)

\fs2 t^2 - 3t + 2 = 0

\fs2 \Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot1 = 1

\fs2 \sqrt{\Delta} = 1

\fs2 t_1 = \frac{3-1}{2}= 1

\fs2 t_1 = \frac{3+1}{2}= 2

\fs2 \sqrt{x} = 1 V \sqrt{x} = 2

Odpowiedź: x=1 V x=4



Przykład 3:\fs2 3(x-2) + 8\sqrt{x-2} - 3 = 0

\fs2 t=\sqrt{x-2}

warunki:
\fs2 \left\{\begin{array}{cc}x-2 \geq 0 \\ x \geq 2 \\ t \geq 0 \end{array}\right

\fs2 3t^2 + 8t - 3 = 0

\fs2 \Delta = 64 + 4\cdot3\cdot3 = 100

\fs2 \sqrt{\Delta} = 10

\fs2 t_1 = \frac{-8 - 10}{6}= -3 SPRZECZNOŚĆ!

\fs2 t_1 = \frac{-8 + 10}{6}= \frac{1}{3}

\fs2 \sqrt{x-2} = \frac{1}{3} /^2

\fs2 x-2 = \frac{1}{9}

Odpowiedź: x = \fs2 2\frac{1}{9}



Jak widać cała filozofia polega na podstawianiu zmiennej pomocniczej t. Przed podaniem odpowiedzi pamietajmy o powróceniu do zmiennej x.

Często popełnianym błędem jest zapowinanie o tym, iż np \fs2 \sqrt{4} = 2, a przecież \fs2 \sqrt{4} = |2|. Wydawać się to może szczegółowa różnica jednak na tym poziomie jest to istotne, gdyż w przypadku równań dwukwadratowych nasza odpowiedź może okazać sie niepełna.


by Damian Panas (http://forum.servis.pl/profile.php?mode=viewprofile&u=13674)