Naukowy.pl

Ścisłe => Matematyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: lemon w Maj 19, 2008, 07:33:35 pm

Tytuł: [F. kwadratowa] Równania z parametrem, wzory Viete'a
Wiadomość wysłana przez: lemon w Maj 19, 2008, 07:33:35 pm
WZORY VIETE'A
[/b][/size]

Wzory Viete'a możemy stosować jedynie wtedy, gdy \Delta \geq 0.

Dla \Delta > 0
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Dla \Delta = 0 (wówczas pojawia sie pierwiastek podwójny)

2x_0 = \frac{-b}{a}
x^2_0 = \frac{c}{a}

Dowód:
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}= \frac{b^2 -(b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}

x_1 + x_2 = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b -\sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}

Wzory viete'a służą do określania znaków pierwiastków (miejsc zerowych) bez ich obliczania. Dlatego też by móc sprawnie z nich korzystać konieczna będzie znajomośc poniższych zależności:

Liczby x_1 ; x_2 są dodatnie <=> \left\{\begin{array}{cc}x_1 \cdot x_2 > 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \end{array}\right

Liczby x_1 ;  x_2 są ujemne <=> \left\{\begin{array}{cc}x_1 \cdot x_2 > 0 \\ x_1 + x_2 < 0 \end{array}\right

Liczby x_1 ; x_2 mają różne znaki <=> x_1 \cdot x_2 < 0


Przykład 1:
Określ sumę i iloczyn pierwiastków bez ich obliczania:

Dana funkcja:
3x^2 - x - 1 = 0

Rozwiązanie:
x_1 + x_2 = \frac{1}{3}

x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3}


Warto zapamiętać:[/color]

\frac{1}{x^2_1} + \frac{1}{x^2_2} = \frac{x^2_1 + x^2_2}{x^2_1x^2_2} = \frac{(x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}

(x_1 - x_2)^2 = x^2_1 - 2x_1x_2 + x^2_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2


Jako, że jest to temat na poziomie rozszerzonym, warto podjąć się kilku trudniejszych zadań.


Przykład 1:
Czy można ułożyć równanie kwadratowe, dla którego suma pierwiastków jest równa 3, a ich iloczyn 7?

Dane:
x_1 + x_2 = 3
x_1x_2 = 7

Rozwiązanie:
x_1 = 3 - x_2

x_2(3-x_2) = 7

3x_2 - x^2_2 = 7

-x^2_2+3x_2-7=0

\Delta = 9 - 28 = -17    ← ujemna delta świadczy o braku miejsc zerowych, a więc wyszła sprzeczność

Odpowiedź: nie można ułożyć takiego równania


Przykład 2:
Uzasadnij, że jeśłi s jest sumą pierwiastków, a p ich iloczynem to musi zachodzić nierówność  p \leq \frac{s^2}{4}.

Dane:
s = x_1 + x_2
 p = x_1x_2

Rozwiązanie:
 x_1x_2 \leq \frac{x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2}{4}

 x_1x_2 \leq \frac{x^2_1 - 2x_1x_2 + x^2_2 + 4x_1x_2}{4}

 x_1x_2 \leq \frac{(x_1 -  x_2)^2 + 4x_1x_2}{4}

 x_1x_2 \leq \frac{(x_1 -  x_2)^2}{4} + x_1x_2

 0 \leq \frac{(x_1 -  x_2)^2}{4} / \cdot4

 0 \leq (x_1 -  x_2)^2

Odpowiedź: liczba (x_1 -  x_2)^2 niezależnie od pierwiastków zawsze będzie większa bądź równa zero, gdyż każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna, a wiec nierównoć będzie spełniona dla dowolnegox_1 ; x_2.


Powyższe przykłady doskonale ukazują mnogość zastosowań wzorów Viete'a. Umiejętnośc ich wykorzystywania pozwala rozwiązać nierzadko bardzo trudne zadania z zakresu funkcji kwadratowej.




RÓWNANIA Z PARAMETREM


Rozwiązywanie równań z parametrem polega na badaniu liczby rozwiązań równania w zależności od parametru.

Jeśli spotkamy sie z poleceniem "zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru", to musimy sprawdzić, kiedy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest większy, mniejszy, a kiedy równy zero.

Przykład 1:
Zbadaj liczbę rozwiązań funkcji x^2 - 6x + 2m = 0 w zależnośći od parametru m.

x^2 - 6x + 2m = 0

\Delta = 36 - 8m

0 = 36 - 8m   ← sprawdzamy, kiedy równanie ma jedno rozwiązanie

8m = 36 /:8
 
m = 4,5

0 < 36 - 8m   ← sprawdzamy, kiedy równanie ma dwa rozwiązania

m < 4,5  

0 > 36 - 8m   ← sprawdzamy, kiedy równanie nie ma rozwiązania

m > 4,5  

Odpowiedź: równanie ma dwa rozwiązania dla m < 4,5 ; jedno rozwiązanie dla m = 4,5 ; brak rozwiązań dla m > 4,5.


Przykład 2:
Uzasadnij, że równanie 2x^2 + mx - 3 = 0 ma rozwiązanie dla każdego m \in R

Warunek \Delta \geq 0

m^2 +4\cdot\cdot3\cdot2 \geq 0

m^2 + 24 \geq 0

m^2  > -24   ← nie istnieje takie m, którego kwadrat mógłby być liczbą ujemną i tym samym zaprzeczyć nierówności m^2 + 24 \geq 0


Przykład 3:
Dla jakich wartości parametru m, równanie m^2 + (m-2)x + 5 - m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste ujemne?

a = 1 ; b= m - 2 ; c = 5 - m

warunki:
\left\{\begin{array}{cc}\Delta > 0         \\ x_1x_2 > 0    \\ x_1+x_2 <0  \end{array}\right

Warunek 1:
(m-2)^2 - 4(5-m) > 0

m^2 - 4m + 4 - 20 + 4m > 0

m^2 - 16 > 0

m^2 > 16

m \in (-\infty ; -4) U (4; \infty)

Warunek 2:
\frac{5-m}{1} > 0

5 - m > 0

5 > m

Warunek 3:
\frac{-m+2}{1} < 0

-m+2 < 0

m > 2

(http://img150.imageshack.us/img150/8771/paraay4.jpg)

Odpowiedź: m \in (4;5)