Naukowy.pl

Ścisłe => Fizyka => Kompendium => Wątek zaczęty przez: Kris w Marzec 13, 2009, 10:53:56 am

Tytuł: [MECHANIKA KLASYCZNA] Wyprowadzenie wzorów i zależności
Wiadomość wysłana przez: Kris w Marzec 13, 2009, 10:53:56 am
Wyprowadzenie wzorów i zależności
[/size][/b]
Temat ten stanowi uzupełnienie, do wszystkich tematów oznaczonych tagiem [MECHANIKA KLASYCZNA]. Wątek został wyodrębniony m.in. po to, aby nie zakłócał toku kompendium. Kolejnym powodem, dla którego stanowi on odrębną całość, jest jedna z głównych cech każdego kompendium - zwięzłość i czytelność.

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe (http://forum.servis.pl/viewtopic.php?t=15421)
[/b]
1. Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego
Operujmy wartościami, zatem \fs2 |\Delta \mathbf{\vec x}|=\Delta x. Ponadto \fs2 |\mathbf{\vec a}|=a_x. Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu \fs2 t_o do wyłączenia stoperów (\fs2 t_o+\Delta t), czyli \fs2 \mathbf{\vec v}(t_o)=v_{xo}\mathbf{\hat x} i \fs2 \mathbf{\vec v}(t_o+\Delta t)=v_x\mathbf{\hat x}. Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

\begin{cases}v_x-v_{xo}=a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\cdot \frac{v_x-v_{xo}}{a_x}+\frac12 a_x\cdot \frac{(v_x-v_{xo})^2}{a_x^2}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}v_x-2v_{xo}^2}{2a_x}+\frac{ v_x^2+v_{xo}^2-2v_xv_{xo}}{2a_x}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x=\frac{v_x^2-v_{xo}^2}{2a_x}\end{cases}}

• przyspieszenie

\begin{cases}v_x-v_{xo}=a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac12 \cdot \frac{(v_x-v_{xo})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}\Delta t}{2}+\frac{ v_x\Delta t-v_{xo}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x=\frac{v_x+v_{xo}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}

2. Równania ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego
Operujmy wartościami, zatem \fs2 |\Delta \mathbf{\vec x}|=\Delta x. Ponadto \fs2 |\mathbf{\vec a}|=-a_x. Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu \fs2 t_o do wyłączenia stoperów (\fs2 t_o+\Delta t), czyli \fs2 \mathbf{\vec v}(t_o)=v_{xo}\mathbf{\hat x} i \fs2 \mathbf{\vec v}(t_o+\Delta t)=v_x\mathbf{\hat x}. Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

\begin{cases}v_x-v_{xo}=-a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\cdot \frac{v_{xo}-v_{x}}{a_x}-\frac12 a_x\cdot \frac{(v_{xo-}v_{x})^2}{a_x^2}\end{cases}

\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t  \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}^2-2v_{xo}v_x}{2a_x}-\frac{ v_x^2+v_{xo}^2-2v_xv_{xo}}{2a_x}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t  \\ \Delta x=\frac{v_{xo}^2-v_{x}^2}{2a_x}\end{cases}}

• przyspieszenie

\begin{cases}v_x-v_{xo}=-a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac12 \cdot \frac{(v_{xo}-v_{x})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}

  \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}\Delta t}{2}-\frac{ v_{xo}\Delta t-v_{x}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x=\frac{v_{xo}+v_{x}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}

3. Wyprowadzenie równań ruchu z zasad dynamiki Newtona.
Rozpatrzmy przypadki:
1) \fs2 \sum \mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec 0}.
2) \fs2 \sum \mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec F}_o=\mathbf{\vec {\text{const.}}}
Równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

 m\frac{\text{d}\mathbf{\vec v}}{\text{d}t}=\sum\mathbf{\vec F}_i \;\Longleftrightarrow\;\text{d}\mathbf{\vec{v}}=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}\text{d}t

 \int^{t}_{t_o}\text{d}\mathbf{\vec v}=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\; \mathbf{\vec{v}}(t)-\mathbf{\vec{v}}(t_o)=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}(t-t_o)


Jako, że  \fs2  \sum\mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec 0} to można zapisać

 \mathbf{\vec v}(t)=\mathbf{\vec v}(t_o)\;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\mathbf{\vec r}}{\text{d}t}=\mathbf{\vec v}(t_o)

  \int^{t}_{t_o}\text{d}\mathbf{\vec r}=\mathbf{\vec v}(t_o)\int^{t}_{t_o}\text{d}t \;\Longleftrightarrow\;\mathbf{\vec r}(t)-\mathbf{\vec r}(t_o)=\mathbf{\vec v}(t_o)(t-t_o)


Przyjmuje się, że \fs2  \mathbf{\vec r}(t_o)=\mathbf{\vec r}_o,\;\; \mathbf{\vec{v}}(t_o)=\mathbf{\vec v}, zatem

Równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego

\fbox{  {\mathbf{\vec r}(t)=\mathbf{\vec r}_o+\mathbf{\vec v}(t-t_o)} }

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

 m\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\vec F_o \;\Longleftrightarrow\;\text{d}\vec{v}=\frac{\vec F_o}{m}\text{d}t

  \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec v=\frac{\vec F_o}{m}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{v}(t)-\vec{v}(t_o)=\frac{\vec F_o}{m}(t-t_o)


Jako, że  \fs2  \frac{\vec F_o}{m}=\vec a to można zapisać

 \vec v(t)=\vec v(t_o)+ \vec a(t-t_o) \;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec r}{\text{d}t}=\vec v(t_o)+\vec a(t-t_o)\text{d}t

 \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec r=\int^{t}_{t_o}(\vec v(t_o)+\vec a(t-t_o))\text{d}t

  \vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec v(t_o)(t-t_o)+\int^{t}_{t_o}\vec a(t-t_o)\text{d}t\;\left |t-t_o=u \\ \text{d}t=\text{d}u \right|

  \vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec{v}(t_o)(t-t_o)+\int^{t-t_o}_{0}\vec a u\text{d}u

 \vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec{v}(t_o)(t-t_o)+\vec a\left[\frac{u^2}{2}\right]^{t-t_o}_{0}=\vec v(t_o)(t-t_o)+\frac{\vec a(t-t_o)^2}{2}

Przyjmuje się, że \fs2  \vec r(t_o)=\vec r_o,\;\; \vec{v}(t_o)=\vec v_o, zatem

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego

\fbox{ \vec r(t)=\vec r_o+\vec v_o(t-t_o)+\frac{\vec a(t-t_o)^2}{2}}


[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy krzywoliniowe (http://forum.servis.pl/viewtopic.php?t=15605)
[/b]
1. Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu.
Operujmy wartościami, zatem \fs2 |\Delta \vec \phi|=\Delta \phi. Ponadto \fs2 |\vec \varepsilon|=\varepsilon. Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu \fs2 t_o do wyłączenia stoperów (\fs2 t_o+\Delta t), czyli \fs2 \vec \omega(t_o)=\omega_{o} i \fs2 \vec \omega(t_o+\Delta t)=\omega. Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

\begin{cases}\omega-\omega_{o}=\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t+\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega-\omega_{o})=\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\cdot \frac{\omega-\omega_{o}}{\varepsilon}+\frac12 \varepsilon\cdot \frac{(\omega-\omega_{o})^2}{\varepsilon^2}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}\omega-2\omega_{o}^2}{2\varepsilon}+\frac{ \omega^2+\omega_{o}^2-2\omega\omega_{o}}{2\varepsilon}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega-\omega_{o})=\Delta t \\ \Delta \phi=\frac{\omega^2-\omega_{o}^2}{2\varepsilon}\end{cases}}

• przyspieszenie

\begin{cases}\omega-\omega_{o}=\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t+\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta\phi=\omega_{o}\Delta t+\frac12 \cdot \frac{(\omega-\omega_{o})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}\Delta t}{2}+\frac{ \omega\Delta t-\omega_{o}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta \phi=\frac{\omega+\omega_{o}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}


2. Równania ruchu jednostajnie opóźnionego po okręgu.
[hide]Operujmy wartościami, zatem \fs2 |\Delta \vec \phi|=\Delta \phi. Ponadto \fs2 |\vec \varepsilon|=-\varepsilon. Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu \fs2 t_o do wyłączenia stoperów (\fs2 t_o+\Delta t), czyli \fs2 \vec \omega(t_o)=\omega_{o} i \fs2 \vec \omega(t_o+\Delta t)=\omega. Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

\begin{cases}\omega-\omega_{o}=-\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t-\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega_o-\omega)=\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\cdot \frac{\omega_o-\omega}{\varepsilon}-\frac12 \varepsilon\cdot \frac{(\omega_o-\omega)^2}{\varepsilon^2}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega_o-\omega)=\Delta t \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}^2-2\omega_{o}\omega}{2\varepsilon}-\frac{ \omega^2+\omega_{o}^2-2\omega\omega_{o}}{2\varepsilon}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega_o-\omega)=\Delta t \\ \Delta \phi=\frac{\omega_o^2-\omega^2}{2\varepsilon}\end{cases}}

• przyspieszenie

\begin{cases}\omega-\omega_{o}=-\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t-\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega_o-\omega)=\varepsilon \\ \Delta\phi=\omega_{o}\Delta t-\frac12 \cdot \frac{(\omega_o-\omega)\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}

 \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega_o-\omega)=\varepsilon \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}\Delta t}{2}-\frac{ \omega_o\Delta t-\omega\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega_o-\omega)=\varepsilon \\ \Delta \phi=\frac{\omega+\omega_{o}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}
[/hide]

3. Wyprowadzenie wzoru na składową styczną i normalną przyspieszenia.
Należy zacząć o tego, że \fs2 \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=v i \fs2 \hat t=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d}s}, gdzie \fs2 \text{d}s to długość infinitezymalnego odcinka łuku po jakim porusza się ciało. Oczywiście przyjąłem oznaczenie \fs2 \text{d}s=|\text{d}\vec r|. Wiemy, że

\vec v=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d} s}\cdot \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\hat t v

Wykorzystajmy I wzór Freneta: \fs2 \frac{\text{d}\hat t}{\text{d}s}=\frac{\hat n}{\varrho}.

\vec{a}=\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\hat tv)=\frac{\text{d}\hat t}{\text{d}t}v+\hat t\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\hat t}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}t}v+\hat t\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\hat n}{\varrho}v^2+\hat ta_t


Składowa styczna i normalna przyspieszenia

\fbox{\vec{a}=\hat n\frac{v^2}{\varrho} +\hat ta_t }

4. Wyprowadzenie równań ruchów po okręgu z zasad dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.
Rozpatrzmy przypadki:
1) \fs2  \sum\vec{\Gamma}_i=\vec 0
2) \fs2  \sum \vec \Gamma_i=\vec \Gamma=\vec {\text{const}}
Równanie ruchu jednostajnego po okręgu
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

I\frac{\text{d}\vec \omega}{\text{d}t}=\sum\vec \Gamma_i \;\Longleftrightarrow\;  \text{d}\vec{\omega}=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}\text{d}t

 \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \omega=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{\omega}(t)-\vec{\omega}(t_o)=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}(t-t_o)


Jako, że \fs2 \sum\vec \Gamma_i=\vec 0  

\vec \omega(t)=\vec \omega(t_o)\;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec \phi}{\text{d}t}=\vec \omega(t_o)

 \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \phi=\vec \omega(t_o)\int^{t}_{t_o}\text{d}t \;\Longleftrightarrow\;\vec \phi (t)-\vec \phi (t_o)=\vec \omega(t_o)(t-t_o)


Przyjmuje się, że \fs2 \vec \phi(t_o)=\vec \phi_o,\;\; \vec{\omega}(t_o)=\vec \omega, zatem

Równanie ruchu jednostajnego po okręgu

\fbox{  {\vec \phi(t)=\vec \phi_o+\vec \omega(t-t_o)}}


Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

I\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\vec \Gamma \;\Longleftrightarrow\; \text{d}\vec{\omega}=\frac{\vec \Gamma}{I}\text{d}t

 \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \omega=\frac{\vec \Gamma}{I}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{\omega}(t)-\vec{\omega}(t_o)=\frac{\vec \Gamma}{I}(t-t_o)


Jako, że  \fs2 \frac{\vec \Gamma}{I}=\vec \varepsilon

\vec \omega(t)=\vec \omega(t_o)+ \vec \varepsilon (t-t_o) \;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec \phi}{\text{d}t}=\vec \omega(t_o)+\vec \varepsilon  (t-t_o)\text{d}t

  \int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \phi=\int^{t}_{t_o}(\vec \omega(t_o)+\vec \varepsilon (t-t_o))\text{d}t

   \vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec \omega (t_o)(t-t_o)+\int^{t}_{t_o}\vec \varepsilon (t-t_o)\text{d}t\;\left |t-t_o=u \\ \text{d}t=\text{d}u \right|

 \vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec{\omega}(t_o)(t-t_o)+\int^{t-t_o}_{0}\vec \varepsilon u\text{d}u

\vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec{\omega}(t_o)(t-t_o)+\vec \varepsilon\left[\frac{u^2}{2}\right]^{t-t_o}_{0}=\vec \omega(t_o)(t-t_o)+\frac{\vec \varepsilon (t-t_o)^2}{2}


Przyjmuje się, że \fs2 \vec \phi(t_o)=\vec \phi_o,\;\; \vec{\omega}(t_o)=\vec \omega_o, zatem

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu

\fbox{  \vec \phi(t)=\vec \phi_o+\vec \omega_o(t-t_o)+\frac{\vec \varepsilon(t-t_o)^2}{2}}


[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruch drgający (http://forum.servis.pl/viewtopic.php?t=16404)
[/b]
1. Równania ruchu drgającego prostego
Wychodząc z jednowymiarowego równania oscylatora harmonicznego prostego pokażę, że zależności
x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{xo}}{\omega}\sin\omega t  oraz  x(t)=A\sin\(\omega t+\phi\)

są sobie równoważne.
Istotnie. Wprowadzając stałe:[1]
 a\;:\!\!=\;x_o,   b\;:\!\!=\;\frac{v_{ox}}{\omega}
równanie przybiera postać
 x(t)=a\cos\omega t+b\sin\omega t

Kładąc kolejne stałe:
 a\;:\!\!=\;A\sin\phi,   b\;:\!\!=\;A\cos\phi
uzyskuję

 x(t)=A\(sin\phi\cos\omega t+\cos\phi\sin\omega t\),

co po zastosowaniu wzoru: \fs2 \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha daje następujący rezultat:

Rozwiązanie r-nia drgań harmonicznych prostych

 \fbox{x(t)=A\sin\(\omega t+\phi\)}

2. Uzyskanie wzorów na prędkość i przyspieszenie w ruchu drgającym prostym.

3. Pokazanie, że w ruchu drgającym prostym \fs2 E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\text{const.}
Istotnie. Zapiszmy szukana sumę: \fs2 E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kx^2(t)+\frac12 mv^2(t) . Kładąc \fs2 x(t)=A\sin(\omega t+\phi) oraz \fs2 v(t)=\omega A\cos(\omega t+\phi), jednocześnie korzystając z wcześniej uzyskanego związku \fs2 \omega ^2=k/m uzyskuję:

E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kA^2\sin^2(\omega t+\phi)+\frac12 m\cdot \frac{k}{m}\cdot A^2\cos^2(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}kA^2\(\sin^2(\omega t+\phi)+\cos^2(\omega t+\phi)\)=\frac12 kA^2

W ruchu drgającym prostym

\fbox{E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kA^2=\text{const.}}

4. Rozwiązanie równania \fs2 m\ddot{\vec r}+k\vec r=0.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowej \fs2 m \ddot{x}+\omega^2x=0[/b]

Skorzystajmy najpierw z własności pochodnej funkcji \fs2 y=e^x. Rozpatrzmy równanie skalarne dla współrzędnej \fs2 x. Podstawiam:
x\;:\!\!=\; e^{\alpha t}
\omega^2 \;:\!\!=\; k/m
[/list]
Wówczas jednowymiarowe równanie ma postać:

e^{\alpha t}\(\alpha^2+\omega^2\)=0


którego rozwiązania należy szukać w liczbach zespolonych:

\alpha_1=-i\omega\;\;\;\alpha_2=i\omega.

Powracam do podstawienia \fs2 x=\exp(\alpha t)
Korzystając z faktu, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest także dowolna kombinacja liniowa rozwiązań piszę:

x(t)=A_1x_1+A_2x_2=A_1e^{\alpha_1 t}+A_2e^{\alpha_2t}=A_1e^{-i\omega}+A_2e^{i\omega}


Weźmy warunki początkowe:
x(0)=x_o
\dot{x}(0)=v_{ox}
[/list]

\begin{cases}x_o=A_1+A_2 \\ v_{ox}=-i\omega A_1+i\omega A_2\end{cases}


Rozwiązaniem tego układu równań są:

\begin{cases}A_1=\frac12\(x_o-\frac{v_{ox}}{i\omega}\) \\ A_2=\frac12\(x_o+\frac{v_{ox}}{i\omega}\)\end{cases}


Zatem nasze równanie można zapisać jako:

x(t)=x_o\cdot\frac{\exp(i\omega t)+\exp(-i\omega t)}{2}+\frac{v_{ox}}{\omega}\cdot\frac{\exp(i\omega t)-\exp(-i\omega t)}{2i}


Korzystając ze wzoru Eulera[3] mamy:

x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{ox}}{\omega}\sin\omega t


Analogiczne rozumowanie dla składowych y, oraz z daje rezultat

\vec r(t)=\begin{cases}x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{ox}}{\omega}\sin\omega t \\ y(t)=y_o\cos\omega t+\frac{v_{oy}}{\omega}\sin\omega t \\ z(t)=z_o\cos\omega t+\frac{v_{oz}}{\omega}\sin\omega t\end{cases}

którego należało wyprowadzić.